f(x) = 8 − 11x について、h ≠ 0 として差分商 (f(x + h) − f(x))/h を求めて整理せよ。

Step-by-step solution

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   かっこを使って代入し $f(x+h)$ を作る。 規則の中の $x$ をすべて $x+h$ という量まるごとに置き換える：

   $f(x+h) = 8 - 11(x+h) = 8 - 11x - 11h$

   $-11$ を最初の項にだけ配って $8 - 11x + h$ と書いてしまうのが、最もよくある取りこぼしである。

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   分子を作り、引き算に注意する。 $f(x)$ を引くとは式全体を引くことなので、その 2 つの項はどちらも符号が反転する：

   $f(x+h) - f(x) = (8 - 11x - 11h) - (8 - 11x) = 8 - 11x - 11h - 8 + 11x$

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   $h$ を含まないものをすべて打ち消す。 $8$ と $-8$、$-11x$ と $+11x$ が打ち消し合う：

   $f(x+h) - f(x) = -11h$

   $x$ がすべて消えることが、この関数が 1 次であることの合図である。

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   $h$ で割る。 $h \neq 0$ なので、この割り算は正当である：

   $\frac{-11h}{h} = -11$

   $h$ も $x$ も残らない。

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   定数になった結果を解釈する。 差分商とは、$(x, f(x))$ と $(x+h, f(x+h))$ を通る割線の傾きのことである。直線ではどの割線も直線そのものなので、この商は一定の傾き $-11$ にならざるをえない——$f(x) = 8 - 11x$ における $x$ の係数と一致する。そして $h \to 0$ とすれば、期待どおり $f'(x) = -11$ が得られる。

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   2 次関数と対比する。 $f(x) = 2x^2 - 3x + 4$ に同じ手順を当てると $\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = 4x + 2h - 3$ となり、$x$ も $h$ も残る。$h$ が残るのは 1 次でない関数では普通のことであり、ここでそれが残らないことこそが $8-11x$ を 1 次関数だと見分ける決め手になる。

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   数値で検証する。 $x = 2$、$h = 0.1$ とすると $f(2.1) = 8 - 23.1 = -15.1$、$f(2) = 8 - 22 = -14$ なので、商は $\dfrac{-15.1 + 14}{0.1} = \dfrac{-1.1}{0.1} = -11$ ✓ となり、主張どおり $h$ によらない。