放物線 y = 4x² − 9 と y = 9 − 4x² で囲まれた領域の上で、9y + 4x の重積分を計算せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   2つの放物線が交わる場所を求める。 $4x^2-9 = 9-4x^2$ とすると $8x^2 = 18$ なので $x = \pm\tfrac{3}{2}$。したがって領域は $-\tfrac{3}{2} \le x \le \tfrac{3}{2}$ にわたる。

2. 2

   累次積分を書く。 各 $x$ に対して、縦の切り口は下側の放物線から上側の放物線まで動く：

   $\int_{-3/2}^{3/2}\int_{4x^2-9}^{9-4x^2}(9y+4x)\,dy\,dx$

3. 3

   力任せに計算せず、対称性を使う。 $D$ は両方の座標軸について対称である。$x \to -x$ とすると領域はそれ自身に写り、$y \to -y$ でも同様である（2本の境界曲線が入れ替わる）。

4. 4

   各項に対称性を適用する。 $9y$ は $y$ について奇関数で、領域は $y$ について対称なので積分は $0$ になる。$4x$ は $x$ について奇関数で、領域は $x$ について対称なので、これも $0$ になる。

5. 5

   結論。 どちらの項も消えるので積分は $0$ である。原始関数を求める必要はない。領域が偶関数で定義されているときは、積分に取りかかる前に対称性を確かめる価値がつねにある。