δ > 0 を固定するとき、ρ が無限大に向かうときの (2 arctan(ρ/δ)/π)^ρ の極限を求め、さらにその量から 1 を引いたものの ln が実数の ρ に対して定義されることがあるかを判定せよ。

Step-by-step solution

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   有限の $\rho$ に対して底を押さえる。 有限な $\rho>0$ と固定した $\delta>0$ に対して引数 $\rho/\delta$ は有限なので、$\arctan\frac{\rho}{\delta}<\frac{\pi}{2}$ が厳密に成り立つ——値 $\frac{\pi}{2}$ は水平漸近線にすぎず、決して到達されない。したがって

   $0<\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}<1$

   となる。ここが核心である。底は下から $1$ に近づくので、大きな冪に上げると $1$ に留まるどころか引き下げられる。

2. 2

   底を $1$ から小さい量を引いた形に書き換える。 $u>0$ に対する恒等式 $\arctan u+\arctan\frac{1}{u}=\frac{\pi}{2}$ を使う。

   $\arctan\frac{\rho}{\delta}=\frac{\pi}{2}-\arctan\frac{\delta}{\rho}\qquad\Longrightarrow\qquad \frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}\arctan\frac{\delta}{\rho}$

   $\rho\to+\infty$ では $\frac{\delta}{\rho}\to 0$ かつ $\arctan u\sim u$ なので、底は $1-\frac{2\delta}{\pi\rho}$ のようにふるまう。

3. 3

   古典的な指数の極限を適用する。 $\lim_{\rho\to\infty}\left(1-\frac{c}{\rho}\right)^{\rho}=e^{-c}$ なので、$c=\frac{2\delta}{\pi}$ とすれば

   $\lim_{\rho\to+\infty}\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}=e^{-2\delta/\pi}$

   が得られる。よく知られた注意「$\left(1-\frac1n\right)^{n}\to e^{-1}$ であって $1$ ではない」とまったく同じ現象である。$1$ に近づく底と無限大に発散する指数がせめぎ合い、積 $\rho\cdot\frac{2\delta}{\pi\rho}$ が勝敗を決める。

4. 4

   対数の中身が負であると結論する。 $\delta>0$ なので $0<e^{-2\delta/\pi}<1$ であり、したがって

   $\left(\frac{2\arctan\frac{\rho}{\delta}}{\pi}\right)^{\rho}-1\ \longrightarrow\ e^{-2\delta/\pi}-1<0$

   となる。さらにすべての有限な $\rho>0$ に対して底はすでに厳密に $1$ より小さいので、括弧の中は極限においてだけでなく常に厳密に負である。負の数の実数の対数は定義されないので、この $\ln$ が実数の範囲で意味をもつことはない。

5. 5

   両方の主張を数値で確かめる。 $\delta=1$ のとき $e^{-2/\pi}=0.5290778$ であり、式の値は $\rho=10$ で $0.5191644$、$\rho=100$ で $0.5280135$、$\rho=10^{3}$ で $0.5289707$、$\rho=10^{7}$ で $0.5290778$ となって予測値に収束しており、明らかに $1$ へは向かっていない。$\delta=3$ でも目標値 $e^{-6/\pi}=0.1481012$ に同様に到達する。また括弧の中は $\rho=0.1,1,10,1000$ でそれぞれ $-0.2410$、$-0.5000$、$-0.4808$、$-0.4710$ となり、終始負である。