曲線 20x²⁰y + y⁸ = 33 − 30x⁶ の dy/dx を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   $y$を$x$の未知関数として扱う。 陰関数微分とは、$y$が実は$y(x)$であることを忘れずに両辺を$x$で微分することである。したがって微分された$y$はそれぞれ、合成関数の微分法によって$\dfrac{dy}{dx}$という因子を残す——この因子こそがこの方法を成り立たせている本質である。

2. 2

   混合項は積の微分法で微分する。 $20x^{20}y$は$x$に依存する2つの因子の積である：

   $\frac{d}{dx}\left(20x^{20}y\right)=20\left(20x^{19}y+x^{20}\frac{dy}{dx}\right)=400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}$

   べき乗の側だけを微分して$400x^{19}y$とだけ書いてしまうのが、ここでの典型的な誤りである。

3. 3

   $y$だけの項と右辺を微分する。

   $\frac{d}{dx}\left(y^{8}\right)=8y^{7}\frac{dy}{dx},\qquad \frac{d}{dx}\left(33-30x^{6}\right)=-180x^{5}$

   定数$33$は何も寄与しない。

4. 4

   微分後の方程式を組み立てる。

   $400x^{19}y+20x^{20}\frac{dy}{dx}+8y^{7}\frac{dy}{dx}=-180x^{5}$

5. 5

   $\frac{dy}{dx}$の項を片側に集めてくくり出す。

   $\left(20x^{20}+8y^{7}\right)\frac{dy}{dx}=-180x^{5}-400x^{19}y$

   $\frac{dy}{dx}$は必ず1次でしか現れないので、くくり出しは常に可能である——多項式関係式の陰関数微分は、$\frac{dy}{dx}$について常に1次になる。

6. 6

   割って整理する。

   $\frac{dy}{dx}=\frac{-180x^{5}-400x^{19}y}{20x^{20}+8y^{7}}=\frac{-45x^{5}-100x^{19}y}{5x^{20}+2y^{7}}$

   数値による確認：$x=0.9$のとき曲線上では$y=1.38685$であり、この式は$-2.2271533$を返す。これは陰的に定まる$y(x)$の数値微分と小数第9位まで一致する ✓。答えに$x$と$y$の両方が含まれるのは、陰関数の導関数として自然なことである。