F、すなわち y = −1.65 から 0 まで、x = −y/1.1015 から 0 まで (14.1 − 11.515y) dx dy を積分した値を求めよ。

Step-by-step solution

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   被積分関数に x が現れないことに注目する。 （$x$ について）定数を区間で積分するのは、符号つきの幅を掛けることにほかならない： $\int_{-y/1.1015}^{0}(14.1-11.515y)\,dx = (14.1-11.515y)\left(0-\left(-\frac{y}{1.1015}\right)\right) = (14.1-11.515y)\frac{y}{1.1015}.$

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   先へ進む前にその幅の符号を確かめる。 $y\in[-1.65,0]$ では $-\tfrac{y}{1.1015}\ge 0$ なので、下端が上端の $0$ より大きく、幅 $\tfrac{y}{1.1015}$ は負である。全体で $14.1-11.515y>0$ なので内側の積分は負となり、$F$ も負にならざるをえない——符号を落としやすいのがまさにこの段階である。

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   1 変数の積分に落として展開する。 $F = \frac{1}{1.1015}\int_{-1.65}^{0}\left(14.1y-11.515y^2\right)dy.$

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   原始関数を求める。 $\int\left(14.1y-11.515y^2\right)dy = 7.05y^2-\frac{11.515}{3}y^3.$

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   積分区間を正しい順で当てる。 $y=0$ では原始関数は $0$ なので $F=\tfrac{1}{1.1015}\left[0 - G(-1.65)\right]$ である。ここで $(-1.65)^2 = 2.7225$、$(-1.65)^3 = -4.492125$ を使うと $G(-1.65) = 7.05(2.7225)-\frac{11.515}{3}(-4.492125) = 19.193625+17.242273 = 36.435898.$

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   割って符号つきの結果を述べる。 $F = \frac{-36.435898}{1.1015} \approx -33.0784.$ $(14.1-11.515y)\tfrac{y}{1.1015}$ を $[-1.65,0]$ 上で直接数値求積すると $-33.0784368$ が返り、大きさも符号も裏づけられる。もし意図されている領域が $x=0$ と $x=-\tfrac{y}{1.1015}$ に挟まれた三角形で、積分区間を小さい順に書くのであれば、示すべき値は大きさの $33.0784$ である。