x → 1 のときの (2x² + x − 3)/|x − 1| の極限を求めるか、存在しないことを示せ。

Step-by-step solution

1. 1

   不定形であることを確認する。 $x=1$では分子が$2+1-3=0$、分母が$|0|=0$なので、式は$\tfrac00$であり代入では何も分からない。同じ分子を$x=-2$で評価する場合と違い、ここでは極限を取る点が絶対値の零点そのものであるため、答えは質的に異なるものになる。

2. 2

   たすき掛けで分子を因数分解する。 $2x^{2}+x-3$については、積が$2\times(-3)=-6$、和が$1$になる2数を探す：それは$3$と$-2$である。すると

   $2x^{2}+3x-2x-3=x(2x+3)-1(2x+3)=(x-1)(2x+3).$

   因子$(x-1)$は絶対値の中身とちょうど一致しており、まさにそれゆえに片側ごとの考察が必要になる。

3. 3

   左側極限を取る。 $x<1$では$x-1<0$なので$|x-1|=-(x-1)$であり、

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{-(x-1)}=-(2x+3)\ \longrightarrow\ -(2+3)=-5.$

   よって$\displaystyle\lim_{x\to1^{-}}=-5$である。

4. 4

   右側極限を取る。 $x>1$では$x-1>0$なので$|x-1|=x-1$であり、

   $\frac{(x-1)(2x+3)}{x-1}=2x+3\ \longrightarrow\ 2+3=5.$

   よって$\displaystyle\lim_{x\to1^{+}}=5$である。符号の並びが先ほどの場合の鏡像になっている点に注意したい：分子が正になる側が入れ替わっている。

5. 5

   結論する。 $-5\ne5$なので両側極限は存在しない。この関数は$x=1$で高さ$10$の跳びをもつ。$\lim_{x\to-2}\frac{2x^{2}+x-3}{|x-1|}$と対比するとよい。あちらは分母が0でないので極限は単に$\tfrac33=1$になる。教訓：絶対値が問題を起こすのは、その中身が当の点で0になるときだけである。