x² × sin(x) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   微分すると多項式が簡単になるように$u$を選ぶ。 $\int u\,dv=uv-\int v\,du$では、残る積分がより簡単になることを狙う。$u=x^{2}$と取れば$du=2x\,dx$となり次数が$2$から$1$に落ちる。逆に$u=\sin x$と取ると多項式の次数が上がって悪化する。これはLIATEの指針が働いている例であり、微分すべきは代数的な因子のほうである。

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   1回目の適用。 $u=x^{2}$、$dv=\sin x\,dx$（したがって$v=-\cos x$）として：

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x-\int\left(-\cos x\right)(2x)\,dx=-x^{2}\cos x+\int 2x\cos x\,dx.$

   $v=-\cos x$から1つ、公式から1つ、計2つのマイナス符号が合わさってプラスになる。符号の誤りはたいていここで紛れ込む。

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   残った積分に2回目を適用する。 $\int x\cos x\,dx$では$u=x$、$dv=\cos x\,dx$と取ると$du=dx$、$v=\sin x$なので：

   $\int x\cos x\,dx=x\sin x-\int\sin x\,dx=x\sin x+\cos x.$

   多項式の次数が$0$になったので手続きはここで終わる——$n$次の多項式にはちょうど$n$回の部分積分が必要になる。

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   部分をまとめる。 2つ目の結果に因子$2$を掛けて代入すると：

   $\int 2x\cos x\,dx=2x\sin x+2\cos x,$

   $\int x^{2}\sin x\,dx=-x^{2}\cos x+2x\sin x+2\cos x+C.$

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   微分して検証する。 各項に積の微分法を使うと：

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{2}\cos x\right)=-2x\cos x+x^{2}\sin x,\quad \frac{d}{dx}\left(2x\sin x\right)=2\sin x+2x\cos x,\quad \frac{d}{dx}\left(2\cos x\right)=-2\sin x.$

   足し合わせると$\mp2x\cos x$の組が消え、$\pm2\sin x$の組も消えて、ちょうど$x^{2}\sin x$だけが残る ✓。$x=1.3$での数値確認ではどちらも$1.6284133$になる ✓。