x を助変数とするとき、e^(iωx) の ω についてのマイナス無限大から無限大までの積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   まず対称な有限区間で積分する。 $(-\infty,\infty)$上の広義積分は有限区間の積分の極限として定義されるので、$\int_{-A}^{A}$から始める。$x\ne 0$のとき$\omega$についての原始関数は$\dfrac{1}{ix}e^{i\omega x}$なので、

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{1}{ix}\left(e^{iAx}-e^{-iAx}\right)$

2. 2

   指数関数を正弦に直す。 $\theta=Ax$として$e^{i\theta}-e^{-i\theta}=2i\sin\theta$を使うと：

   $\int_{-A}^{A}e^{i\omega x}\,d\omega=\frac{2i\sin(Ax)}{ix}=\frac{2\sin(Ax)}{x}$

   これは$2A\,\operatorname{sinc}(Ax)$であり、$x=0$に高さ$2A$の尖りをもちながら全面積は一定に保たれる関数である。

3. 3

   $A\to\infty$を各点で取り、破綻を確認する。 $x\ne 0$を固定すると、因子$\sin(Ax)$は$-1$と$1$の間を振動し続けて落ち着かないので、$\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$には極限が存在しない。$x=0$では被積分関数は定数$1$であり$\int_{-A}^{A}1\,d\omega=2A\to\infty$となる。いずれにせよこの積分は通常の（リーマンまたはルベーグの）意味では発散する。

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   代わりに、この関数族を滑らかな関数に対して働かせてみる。 $\dfrac{2\sin(Ax)}{x}$には各点極限がないものの、その面積は一定である：

   $\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\,dx=2\pi\qquad\text{任意の }A>0$

   しかも$A$が大きくなるにつれて質量は$x=0$にますます集中していく（原点から離れた場所の振動は、滑らかなテスト関数$\varphi$を重みとして掛けると相殺する）。これはまさにデルタ列を特徴づける振る舞いである：

   $\lim_{A\to\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{2\sin(Ax)}{x}\varphi(x)\,dx=2\pi\varphi(0)$

5. 5

   両方の答えを述べ、どちらがどこで使われるかを示す。 通常の広義積分としてはこの式は収束しない。一方、超関数として——これは定数関数$1$の逆変換にあたる、フーリエ解析で用いられる意味である——次が成り立つ：

   $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\,\delta(x)$

   この$2\pi$は流儀に依存する：対称形の$\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$の流儀でもこの等式自体は$\int e^{i\omega x}\,d\omega=2\pi\delta(x)$のままだが、変換の対のほうが両側に$\tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$を持つことになる。