x → 1 のときの (3x³ − 2x − 1) / (5x² + 3x − 8) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず代入して、どんな種類の極限かを見る。 最初の一手は常に直接代入である：

   $3(1)^3-2(1)-1=0,\qquad 5(1)^2+3(1)-8=0$

   結果は$\tfrac{0}{0}$であり、これは答えではない——2つの多項式が共通因子をもっているという合図である。

2. 2

   因数定理を使う。 $p(1)=0$である多項式$p$は$x-1$で割り切れる。ここでは両方が$x=1$で0になるので、両方がその因子をもつ。分子を$x-1$で割ると：

   $3x^3-2x-1=(x-1)(3x^2+3x+1)$

   展開し直せば確認できる：$3x^3+3x^2+x-3x^2-3x-1=3x^3-2x-1$。

3. 3

   分母も同じように因数分解する。

   $5x^2+3x-8=(x-1)(5x+8)$

   検算：$5x^2+8x-5x-8=5x^2+3x-8$。どちらの因数分解も厳密であり、近似は一切していない。

4. 4

   約分する——そしてそれが許される理由を押さえる。 $x\to 1$の極限は$x\neq 1$のところしか見ておらず、$x\neq 1$では因子$x-1$は0でない数なので割ってよい：

   $\frac{(x-1)(3x^2+3x+1)}{(x-1)(5x+8)}=\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}$

   新しい関数はもとの関数と$x=1$という1点でしか違わず、極限はその点を無視する。

5. 5

   簡約した分数に改めて代入する。 分母はもう0にならない（$5+8=13\neq 0$）ので、今度は代入が通る：

   $\lim_{x\to 1}\frac{3x^2+3x+1}{5x+8}=\frac{3+3+1}{5+8}=\frac{7}{13}$

6. 6

   数値で検算する。 $x=1.001$ではもとの商は$0.53895$、$x=0.999$では$0.53798$であり、どちらも$\tfrac{7}{13}=0.53846$を挟んでいる。両側から値が裏づけられた。