x(0) = 8、x′(0) = 0、y(0) = 0、y′(0) = 0 のもとで、連立 x″ + y″ = t²、x″ − y″ = 4t を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   足し引きして連立を外す。 2 つの方程式には $x''$ と $y''$ の和と差しか現れないので、1 次結合をとればただちに分離できる。ラプラス変換も行列の方法も必要ない。

   $\text{足す：} 2x'' = t^2 + 4t, \qquad \text{引く：} 2y'' = t^2 - 4t$

   したがって

   $x'' = \tfrac{1}{2}t^2 + 2t, \qquad y'' = \tfrac{1}{2}t^2 - 2t$

   となる。

2. 2

   x″ を 1 回積分し、x′(0) = 0 を使う。

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2 + C_1$

   $t = 0$ とすると $0 = C_1$ なので

   $x' = \frac{t^3}{6} + t^2$

   となる。定数が現れたらすぐに対応する条件を使うことで、2 つの定数が混ざらずに済む。

3. 3

   もう一度積分して x(0) = 8 を使う。

   $x = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + C_2, \qquad C_2 = 8$

   $x(t) = \frac{t^4}{24} + \frac{t^3}{3} + 8$

4. 4

   初期値がともに 0 の y でも同じことを繰り返す。

   $y' = \frac{t^3}{6} - t^2 + C_3, \qquad y'(0) = 0 \Rightarrow C_3 = 0$

   $y = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3} + C_4, \qquad y(0) = 0 \Rightarrow C_4 = 0$

   $y(t) = \frac{t^4}{24} - \frac{t^3}{3}$

   $y$ が $x$ と違うのは 3 次の項の符号と定数 $8$ だけである——まさに $\pm 4t$ が持ち込んだ非対称性である。

5. 5

   2 つの微分方程式と 4 つの初期条件をすべて検証する。 2 回微分すると

   $x'' = \frac{t^2}{2} + 2t, \qquad y'' = \frac{t^2}{2} - 2t$

   $x'' + y'' = t^2 \ \checkmark, \qquad x'' - y'' = 4t \ \checkmark$

   となる。$t = 0$ では $x = 8$、$x' = 0$、$y = 0$、$y' = 0$ で 4 つとも合う。なお $x - y = \frac{2t^3}{3} + 8$、$x + y = \frac{t^4}{12} + 8$ であり、これが分離した 2 つの組み合わせである。