y = 8x⁶ − 3x⁻⁴ + 4/x − 9 を微分せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての項を $x$ のべきに書き直す。 べき乗の公式が使えるのは $cx^n$ の形だけなので、分数を変換する：

   $\frac4x=4x^{-1}$

   式は $y=8x^6-3x^{-4}+4x^{-1}-9$ となる。定数 $-9$ は $-9x^0$ であり、微分すると 0 になる。

2. 2

   正のべきの項を微分する。 $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ より

   $\frac{d}{dx}\left(8x^6\right)=8\cdot 6x^5=48x^5$

3. 3

   $-3x^{-4}$ の項を微分する——ここで負が 2 つ出会う。

   $\frac{d}{dx}\left(-3x^{-4}\right)=-3\cdot(-4)x^{-5}=+12x^{-5}$

   指数はやはり減る：$-4-1=-5$ であって $-3$ ではない。そして係数 $-3$ に負の指数 $-4$ が掛かるので、出てくる項は正になる。

4. 4

   $4x^{-1}$ と定数を微分する。

   $\frac{d}{dx}\left(4x^{-1}\right)=4\cdot(-1)x^{-2}=-4x^{-2},\qquad \frac{d}{dx}(-9)=0$

5. 5

   まとめて正の指数で示す。

   $\frac{dy}{dx}=48x^5+12x^{-5}-4x^{-2}=48x^5+\frac{12}{x^5}-\frac{4}{x^2}$

6. 6

   $x=1$ で抜き取り検査する。 公式からは $48+12-4=56$ となる。$h=10^{-4}$ でもとの関数の中心差分をとってもやはり $56.00$ となり、係数も符号も確認できる。導関数はもとの関数と同じく $x=0$ で定義されない点に注意する。