微分方程式 y'' + 2y' + y = e^(3x) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   仕事を 2 つに分ける。 定数係数の線形方程式では、一般解は $y=y_h+y_p$ という形になる。すなわち斉次方程式の一般解に、元の方程式の特殊解を 1 つ足したものである。それぞれの半分は別々の手法で求める。

2. 2

   斉次部分を解く。 $y''+2y'+y=0$ とおいて $y=e^{rx}$ を代入すると

   $r^2+2r+1=(r+1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=-1\ \text{（2 重）}$

   となる。重解は指数関数を 1 つしか与えないので、独立な 2 つ目の解はその指数関数に $x$ を掛けたものになる。

   $y_h=(C_1+C_2x)e^{-x}$

3. 3

   正しい試行関数を選ぶ。 右辺は $e^{3x}$ である。$3$ は $r^2+2r+1$ の解ではないので共鳴は起こらず、素直な $y_p=Ae^{3x}$ で足りる。（もし右辺が重解と一致する $e^{-x}$ であれば、試行解に $x^2$ の因子が必要になっていた。）

4. 4

   代入して $A$ を求める。 $y_p'=3Ae^{3x}$、$y_p''=9Ae^{3x}$ なので

   $(9A+6A+A)e^{3x}=e^{3x}\quad\Rightarrow\quad 16A=1\quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{16}$

   となる。この $16$ は偶然ではない。特性多項式に指数の値を代入したもの、$p(3)=3^2+2(3)+1=16$ である。

5. 5

   一般解を組み立てる。

   $y=(C_1+C_2x)e^{-x}+\frac{1}{16}e^{3x}$

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   両方の部分を検算する。 $y_p=\frac{1}{16}e^{3x}$ については $\frac{9}{16}+\frac{6}{16}+\frac{1}{16}=\frac{16}{16}=1$ となり、確かに $e^{3x}$ を再現する ✓。$y_h=xe^{-x}$ については $y_h'=(1-x)e^{-x}$、$y_h''=(x-2)e^{-x}$ で $(x-2)+2(1-x)+x=0$ となり、斉次方程式を満たす ✓。