z が 0 から 3 − 3x − y、y が 0 から 3(1 − x)、x が 0 から 1 までの dz dy dx の三重積分について、積分順序を y、x、z の順に組み替えて値を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分限界ではなく不等式で立体を記述する。 3 つの限界を内側から読むと

   $0\le z\le 3-3x-y,\qquad 0\le y\le 3-3x,\qquad 0\le x\le 1.$

   となる。これらはすべて次の対称的な 1 つの記述にまとまる。

   $x\ge 0,\quad y\ge 0,\quad z\ge 0,\quad 3x+y+z\le 3,$

   これは $(0,0,0)$、$(1,0,0)$、$(0,3,0)$、$(0,0,3)$ を頂点とする四面体である。

2. 2

   新しい順序での最も外側の変数を決める。 指定された順序は $dy\,dx\,dz$ なので、最も外側は $z$ である。四面体を $z$ 軸に射影すると $0\le z\le 3$ が得られる。

3. 3

   z を固定して x の範囲を求める。 $z$ を固定すると断面は $\{3x+y\le 3-z,\ x,y\ge 0\}$ である。$y=0$ とおけば $x$ が最も広くとれる。

   $0\le x\le \frac{3-z}{3}.$

4. 4

   z と x を固定して y を読み取る。 $3x+y\le 3-z$ より

   $0\le y\le 3-z-3x,$

   なので、組み替えた積分は次のようになる。

   $\int_{z=0}^{3}\int_{x=0}^{(3-z)/3}\int_{y=0}^{3-z-3x}dy\,dx\,dz.$

5. 5

   内側から順に計算する。 内側の積分は $3-z-3x$ を与える。続いて

   $\int_{0}^{(3-z)/3}\left(3-z-3x\right)dx=\left[(3-z)x-\tfrac{3x^{2}}{2}\right]_{0}^{(3-z)/3}=\frac{(3-z)^{2}}{3}-\frac{(3-z)^{2}}{6}=\frac{(3-z)^{2}}{6}.$

   最後に

   $\int_{0}^{3}\frac{(3-z)^{2}}{6}\,dz=\frac{1}{6}\cdot\frac{27}{3}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.$

6. 6

   幾何的に確認する。 被積分関数は $1$ なので、答えは互いに直交する 3 辺の長さが $1$、$3$、$3$ の四面体の体積そのものである。

   $V=\frac{1}{6}(1)(3)(3)=\frac{3}{2}.$

   2 つの経路が一致し、順序の組み替えが正しく行われたことが確かめられる。