x が右から 0 に近づくときの 1/x − floor(1/x) の極限を求めよ。ここで floor は床関数（ガウス記号）を表す。

Step-by-step solution

1. 1

   この式が小数部分であることに気づく。 任意の実数 $t$ に対し、$t - \lfloor t \rfloor$ は小数部分 $\{t\}$ であり、常に $0 \le \{t\} < 1$ を満たす。したがって式全体は $\left\{\tfrac1x\right\}$ であり、$[0,1)$ に閉じ込められている——有界ではあるが、有界であることだけでは極限の存在は決して示せない。

2. 2

   内側の関数の挙動を見る。 $x \to 0^{+}$ のとき $\tfrac1x \to +\infty$ である。無限大へ向かって突き進む量の小数部分は、1 増えるごとに $[0,1)$ を端から端まで 1 回、何度も繰り返し掃いていく——そして $\tfrac1x$ は限りなく大きくなるので、どんな区間 $(0,\delta)$ の中でも無限回そうした掃引が起こる。

3. 3

   値が常に 0 になる数列を作る。 整数 $n$ に対して $x_n = \tfrac{1}{n}$ ととる。すると $\tfrac{1}{x_n} = n$ は整数なので

   $\frac{1}{x_n} - \left\lfloor \frac{1}{x_n} \right\rfloor = n - n = 0$

   であり、かつ $x_n \to 0^{+}$ である。

4. 4

   値が常に 1/2 になる第 2 の数列を作る。 $y_n = \dfrac{1}{n + \tfrac12}$ ととる。すると $\tfrac{1}{y_n} = n + \tfrac12$ で、その床は $n$ なので

   $\frac{1}{y_n} - \left\lfloor \frac{1}{y_n} \right\rfloor = \frac12$

   であり、こちらも $y_n \to 0^{+}$ である。

5. 5

   数列による判定条件で結論する。 もし極限が存在して $L$ に等しいなら、$0^{+}$ へ近づくすべての数列に沿って値が $L$ へ向かわなければならない。2 つの数列がそれぞれ $0$ と $\tfrac12$ を与えるので、そのような $L$ は存在しない。

   $\lim_{x \to 0^{+}} \left(\frac{1}{x} - \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\right) \text{ は存在しない}$

   実際、任意の $c \in [0,1)$ に対して $x = \tfrac{1}{n + c}$ ととれば値をちょうど $c$ にできるので、$[0,1)$ のすべての数が部分列極限になっている。