微分方程式 dy/dx - y^2 = 0 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   標準的な変数分離形に整える。 $y^2$ を移項すると

   $\frac{dy}{dx}=y^2$

   となる。右辺は $y$ だけに依存するので変数分離できる。定数解 $y=0$ にも注意したい。これは自明に方程式を満たすので、別に扱う必要がある。

2. 2

   変数を分離する。 $y\neq0$ と仮定して $y^2$ で割る。

   $\frac{dy}{y^2}=dx,\qquad\text{すなわち}\qquad y^{-2}\,dy=dx$

3. 3

   冪の法則で両辺を積分する。 $n=-2$ のとき $\int y^{n}dy=\frac{y^{n+1}}{n+1}$ より $\frac{y^{-1}}{-1}=-y^{-1}$ となる。指数が $-1$ ではないので $\ln$ の場合には当たらない。

   $-\frac{1}{y}=x+C$

4. 4

   y について解く。 $-1$ を掛け、定数を置き直す（$-C$ も $C$ と同じく任意である）。

   $\frac{1}{y}=-x-C=C'-x$

   逆数をとると

   $y=\frac{1}{C-x}$

   となる。ここで $C'$ を改めて $C$ と書いた。線形の場合 $y'=y$ とは違い、ここでは $C=0$ としても $y=0$ は回収されない。零解はステップ 2 で失われた、正真正銘の別の特異解である。

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   有限の位置での発散に注意する。 この解は $x=C$ に垂直漸近線をもつ。$x\to C^-$ のとき $|y|\to\infty$ である。したがって 0 でない解は実数直線全体では存在しない——2 次の増大に特有の性質であり、線形方程式では決して起こらない。

6. 6

   微分して検証する。 $y=\frac{1}{C-x}=(C-x)^{-1}$ に対して連鎖律から $y'=(C-x)^{-2}=y^2$ ✓ となる。$C=2$ として $x=0,\,0.5,\,-1.3$ で数値的に見ると、対称差分商が $y^2$ と 5 桁まで一致する ✓。