ラプラス変換を使って、積分微分方程式 y′(t) − 2∫₀ᵗ y(τ) sin(t − τ) dτ = 1 を初期条件 y(0) = −1 のもとで解け。

Step-by-step solution

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   積分が畳み込みであることを見抜く。 この積分はちょうど $\int_0^t y(\tau)g(t-\tau)\,d\tau=(y*g)(t)$ の形をしており、$g(t)=\sin t$ である。だからこそラプラス変換が適切な道具になる。畳み込み定理により $\mathcal{L}\{y*g\}=Y(s)G(s)$ なので、面倒な積分が普通の積に変わる。$\mathcal{L}\{\sin t\}=\tfrac{1}{s^2+1}$ なので、積分の項は $\tfrac{2Y(s)}{s^2+1}$ に変換される。

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   方程式全体を変換する。 $\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0)$ に $y(0)=-1$ を入れ、$\mathcal{L}\{1\}=\tfrac1s$ を使うと：

   $sY(s)+1-\frac{2Y(s)}{s^2+1}=\frac{1}{s}.$

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   $Y(s)$ について代数的に解く。 $Y$ の項を通分してまとめ、定数を右辺に移すと：

   $Y(s)\cdot\frac{s(s^2+1)-2}{s^2+1}=\frac{1}{s}-1=\frac{1-s}{s}.$

   3次式は $s^3+s-2=(s-1)(s^2+s+2)$ と因数分解でき、$1-s=-(s-1)$ なので $(s-1)$ が約分される。計算が正しい方向に進んでいる強い証拠である：

   $Y(s)=-\frac{s^2+1}{s\,(s^2+s+2)}.$

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   部分分数に分ける。 $\dfrac{s^2+1}{s(s^2+s+2)}=\dfrac{A}{s}+\dfrac{Bs+C}{s^2+s+2}$ と置く。分母を払うと $(A+B)s^2+(A+C)s+2A=s^2+1$ となるので $2A=1$、$A+C=0$、$A+B=1$、すなわち $A=\tfrac12$、$B=\tfrac12$、$C=-\tfrac12$ である。よって

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac{s-1}{2(s^2+s+2)}.$

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   平方完成して移動定理の形に合わせる。 2次式は虚数解をもつので因数分解せず、$s^2+s+2=\left(s+\tfrac12\right)^2+\tfrac74$ と書き、分子も同じずらし方に合わせて $s-1=\left(s+\tfrac12\right)-\tfrac32$ と表す：

   $Y(s)=-\frac{1}{2s}-\frac12\cdot\frac{s+\tfrac12}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}+\frac34\cdot\frac{1}{\left(s+\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac{\sqrt7}{2}\right)^2}.$

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   項ごとに逆変換する。 3つの項はそれぞれ定数、減衰する余弦、減衰する正弦の変換である（最後の項には因子 $\tfrac{1}{\omega}=\tfrac{2}{\sqrt7}$ が必要なので $\tfrac34\cdot\tfrac{2}{\sqrt7}=\tfrac{3}{2\sqrt7}$ となる）：

   $y(t)=-\frac12-\frac12e^{-t/2}\cos\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right)+\frac{3}{2\sqrt7}e^{-t/2}\sin\!\left(\frac{\sqrt7}{2}t\right).$

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   解を検算する。 $t=0$ では正弦の項が消えて $y(0)=-\tfrac12-\tfrac12=-1$ となり、初期条件と一致する。閉じた形を代入して $y'(t)-2\int_0^t y(\tau)\sin(t-\tau)\,d\tau$ をいくつかの $t$ で数値的に評価すると、毎回 $1.000000$ が返る。したがってこの答えは初期条件だけでなく、もとの方程式そのものを満たしている。