2^x の x = 0 のまわりのテイラー展開を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   底 2 の累乗を底 e の累乗に直す。 $2^x$ を繰り返し微分するのは扱いにくいが、どんな指数関数も $a = e^{\ln a}$ によって底 $e$ に書き換えられる。

   $2^x = \left(e^{\ln 2}\right)^x = e^{x\ln 2}$

   これで問題は既知の級数に帰着する。

2. 2

   指数関数の級数に代入する。 すべての実数 $u$ に対して $e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{u^n}{n!}$ が成り立つので、$u = x\ln 2$ とおくと

   $2^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x\ln 2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 2)^n}{n!}\,x^n$

   となる。

3. 3

   係数が定義どおりであることを確認する。 マクローリン級数の係数は $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ であり、$\frac{d^n}{dx^n}2^x = (\ln 2)^n 2^x$ なので $x = 0$ では $(\ln 2)^n$ になる。$n!$ で割れば同じ係数が再現される——近道と定義が一致している。

4. 4

   最初のいくつかの項を書き出す。 $\ln 2 \approx 0.6931472$ として

   $2^x = 1 + 0.693147\,x + 0.240227\,x^2 + 0.055504\,x^3 + 0.009618\,x^4 + \cdots$

   となる。係数が階乗だけで小さくなる $e^x$ と違い、こちらは $\ln 2 < 1$ が項ごとに減衰の因子を余分に与えるので、より速く小さくなる。

5. 5

   収束半径を述べる。 指数関数の級数はすべての実数 $u$ で収束し、$x$ が有限なら $u = x\ln 2$ も有限なので、収束半径は無限大である。すなわちこの展開はすべての $x \in \mathbb{R}$ で成り立つ。

6. 6

   x = 1 で抜き取り検査をする。 最初の 8 項を足すと $1 + 0.693147 + 0.240227 + 0.055504 + 0.009618 + 0.001333 + 0.000154 + 0.000015 = 1.999999$ となり、期待どおり $2^1 = 2$ に収束していく。