微分方程式 dy/dx + 2y = e^(3x) を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   1 階線形の標準形であることを確認する。 $y'+P(x)y=Q(x)$ と見比べると

   $P(x)=2,\qquad Q(x)=e^{3x}$

   この問題の $e^{-x}$ 版と違うのは $Q$ だけなので、手順は同一で最後の積分だけが変わる。

2. 2

   積分因子は $P$ だけから決まる。 $\mu$ は $P$ のみに依存するので、強制項 $e^{3x}$ はここには関与しない：

   $\mu(x)=e^{\int 2\,dx}=e^{2x}$

3. 3

   両辺に掛けて左辺をひとつの導関数にする。

   $e^{2x}\frac{dy}{dx}+2e^{2x}y=e^{2x}e^{3x}=e^{5x}$

   $\frac{d}{dx}\left(e^{2x}y\right)=e^{5x}$

   指数が足し算になる点に注意する。右辺が $e^{3x}$ ではなく $e^{5x}$ になるのはこのためである。

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   $\int e^{kx}dx=e^{kx}/k$ を使って積分する。 ここでは $k=5$ であり、最終的な答えに現れる $1/5$ はこの段階で生まれる：

   $e^{2x}y=\frac{1}{5}e^{5x}+C$

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   $e^{2x}$ で割って指数を整理する。

   $y=\frac{1}{5}e^{5x-2x}+Ce^{-2x}=\frac{1}{5}e^{3x}+Ce^{-2x}$

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   代入して直接確かめる。 $y=\tfrac15 e^{3x}+Ce^{-2x}$ より $y'=\tfrac35 e^{3x}-2Ce^{-2x}$ なので、

   $y'+2y=\left(\tfrac35+\tfrac25\right)e^{3x}+(-2C+2C)e^{-2x}=e^{3x}$

   手計算する価値があるのは係数の確認 $\tfrac35+\tfrac25=1$ の部分である——$1/5$ が間違っていればここで即座に露見する。