x→0 のときの sin(9x)/cot(12x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   直接代入がうまくいかない理由を見抜く。 $x=0$ では分子 $\sin(9x)$ は $0$ に近づく一方、$\cot(12x)=\cos(12x)/\sin(12x)$ は発散する。$0/\infty$ の形の商は不定形ではないが、コタンジェントがその事実を隠してしまうので、何かを判断する前にまず書き換える。

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   コタンジェントを正弦と余弦で書き直す。 $\cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ より、$\cot(12x)$ で割ることはその逆数 $\tan(12x)$ を掛けることと同じである：$\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

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   $x\to 0$ で各因子がどうなるかを確認する。 正弦は連続で $\sin 0=0$ だから $\sin(9x)\to 0$ かつ $\sin(12x)\to 0$。余弦は連続で $\cos 0=1$ だから $\cos(12x)\to 1$。重要なのは分母がもはや $0$ に近づかないことで、約分もロピタルの定理も必要ない。

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   極限を代入する。 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}=\frac{0\cdot 0}{1}=0.$

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   数値で検算する。 $x=0.01$ ではこの式は $\sin(0.09)\tan(0.12)\approx 0.0899\times 0.1206\approx 0.01084$ となり、$x=0.001$ ではおよそ $0.000108$ になる——$x$ が $10$ 分の 1 になるたびに値がおよそ $100$ 分の 1 に縮んでおり、主要項 $108x^2$ が予測するとおりである。極限は $0$ である。