微分方程式 dy = dx/(y - 1)^2 を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   導関数の形に書き直す。 全体を $dx$ で割ると

   $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(y-1)^2}$

   となる。右辺は $y$ だけに依存するので変数分離形である。右辺が定義されない $y\neq1$ という制限にも注意する。

2. 2

   変数を分離する。 両辺に $(y-1)^2$ と $dx$ を掛ける。

   $(y-1)^2\,dy=dx$

   2 乗の因子が $y$ 側に移り、そのおかげで積分が初等的になる。

3. 3

   両辺を積分する。 $u=y-1$（したがって $du=dy$）と置くと左辺の積分は単なる冪になる。

   $\int(y-1)^2dy=\int u^2du=\frac{u^3}{3}=\frac{(y-1)^3}{3},\qquad \int dx=x+C$

   よって

   $\frac{(y-1)^3}{3}=x+C$

   となる。

4. 4

   分数を払う。 $3$ を掛けると定数が吸収される（$3C$ も $C$ と同じく任意である）。

   $(y-1)^3=3x+C$

   これが陰関数の形の一般解である。

5. 5

   y について陽に解く。 3 乗根は実数上で 1 価である——平方根と違って $\pm$ も符号の場合分けも要らない。

   $y-1=\sqrt[3]{3x+C}\qquad\Longrightarrow\qquad y=1+\sqrt[3]{3x+C}$

   解は $3x+C=0$ となるところでちょうど $y=1$ を通る。そこでは導関数が無限大になるので、曲線は垂直な接線をもつ。

6. 6

   陰関数の微分で検証する。 $(y-1)^3=3x+C$ から $3(y-1)^2y'=3$ なので $y'=\dfrac{1}{(y-1)^2}$ ✓ となり、もとの方程式である。$C=2$ として $x=0.5,\,2.0,\,4.0$ で数値的に見ると、$y=1+\sqrt[3]{3x+2}$ の差分商が $\tfrac{1}{(y-1)^2}$ と 4 桁まで一致する ✓。