y = e^(2x) · artanh(√(eˣ − 1)) を x について微分せよ。

Step-by-step solution

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   微分の前に定義域を確定する。 平方根には $e^{x}-1\ge 0$、すなわち $x\ge 0$ が必要で、$\operatorname{artanh}(z)$ には $|z|<1$、すなわち $e^{x}-1<1$、つまり $x<\ln 2$ が必要である。したがってこの関数が存在するのは

   $0\le x<\ln 2\approx 0.693$

   の範囲だけである。これを知っておくと、あとで現れる因子 $2-e^{x}$ の意味と、それが決して符号を変えない理由が分かる。

2. 2

   積の微分法を組み立てる。 $u=e^{2x}$、$v=\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)$ とすると

   $y'=u' v+uv',\qquad u'=2e^{2x}$

   である。難しいのは $v'$ のほうで、これは 2 層の合成になっている。

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   内側の平方根を微分する。 $z=\left(e^{x}-1\right)^{1/2}$ とすると、合成関数の微分から

   $z'=\frac12\left(e^{x}-1\right)^{-1/2}\cdot e^{x}=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}}$

4. 4

   artanh の導関数を当て、$1-z^{2}$ を整理する。 $\dfrac{d}{dz}\operatorname{artanh}z=\dfrac{1}{1-z^{2}}$ であり、ここでは $z^{2}=e^{x}-1$ がちょうど成り立つので

   $1-z^{2}=1-\left(e^{x}-1\right)=2-e^{x}$

   となる。この因子からは平方根が完全に消える——本物の簡約であり、答えが読める形にとどまる理由である。ステップ 1 で求めた定義域の上でちょうど $2-e^{x}>0$ となることにも注意したい。

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   $v'$、続いて $y'$ を組み立てる。

   $v'=\frac{e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

   $y'=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{2x}\cdot e^{x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}=2e^{2x}\operatorname{artanh}\left(\sqrt{e^{x}-1}\right)+\frac{e^{3x}}{2\sqrt{e^{x}-1}\left(2-e^{x}\right)}$

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   定義域の内側で数値検証する。 $x=0.5$ でのもとの関数の中心差分は $13.9758241$、公式も $13.9758241$ ✓。$x=0.6$ ではどちらも $28.7724865$ ✓。定義域の両端で導関数は発散するが、これは因子 $\sqrt{e^{x}-1}\to 0$ と $2-e^{x}\to 0$ が予告するとおりである。