x³ + 2x² − 5x の導関数を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   項ごとに微分する。 微分は線形なので、和は 1 項ずつ扱ってよく、定数倍はそのまま一緒についてくる：

   $\frac{d}{dx}\bigl(u + v\bigr) = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(cu\bigr) = c\,\frac{du}{dx}$

2. 2

   3 次の項にべき乗の公式を当てる。 べき乗の公式は

   $\frac{d}{dx}x^n = n x^{n-1}$

   なので

   $\frac{d}{dx}x^3 = 3x^2$

   となる。指数は前に出て 1 減る——$3$ のまま残るのではない。

3. 3

   2 次の項を係数ごと扱う。

   $\frac{d}{dx}\left(2x^2\right) = 2 \cdot 2x = 4x$

   前についた $2$ はべき乗の公式に触れられない。微分されるのは $x^2$ だけで $2x$ となり、係数どうしが掛かって $4$ になる。

4. 4

   1 次の項を扱う。 $n = 1$ のときべき乗の公式は $\frac{d}{dx}x = 1$ を与えるので

   $\frac{d}{dx}(-5x) = -5$

   となる。1 次の項はつねに自分の係数に微分される——そしてもし定数項があったなら、それは $0$ に微分されていた。

5. 5

   まとめて検算する。 3 つを足すと：

   $f'(x) = 3x^2 + 4x - 5$

   $x = 2.5$ での中心差分による数値確認：小さな $h$ に対して $\frac{f(2.5 + h) - f(2.5 - h)}{2h} \approx 23.75$ となり、$3(2.5)^2 + 4(2.5) - 5 = 18.75 + 10 - 5 = 23.75$ と合う。おまけに、$f'(x) = 0$ は有理数の範囲では因数分解できない。解の公式から $x = \frac{-2 \pm \sqrt{19}}{3}$ となるので、この 3 次関数の極値は $x \approx 0.786$ と $x \approx -2.120$ にある。