x sec y = 4y − y tan 2x の dy/dx を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   最後まで$y$を$x$の関数として扱う。 この方程式は$y$について閉じた形に解けないので、両辺を$x$で微分し、$y$が出てくるたびに合成関数の微分法による$\dfrac{dy}{dx}$が隠れているものとして扱う。両辺とも$x$を含む因子と$y$を含む因子の積になっているため、積の微分法が2回登場する。

2. 2

   左辺を微分する。 $u=x$、$v=\sec y$とおき、$\dfrac{d}{dx}\sec y=\sec y\tan y\,\dfrac{dy}{dx}$を使うと、$\frac{d}{dx}\left(x\sec y\right)=\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}.$

3. 3

   内側から出る因子$2$を落とさずに右辺を微分する。 $4y$からは$4\dfrac{dy}{dx}$が出る。$y\tan 2x$には積の微分法と合成関数の微分法を併用して（$\dfrac{d}{dx}\tan 2x = 2\sec^{2}2x$であって$\sec^{2}2x$ではないことに注意）、$\frac{d}{dx}\left(y\tan 2x\right)=\frac{dy}{dx}\tan 2x + 2y\sec^{2}2x,$したがって右辺全体の微分は$4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x.$この因子$2$の脱落こそが、この問題で群を抜いて多い誤りである。

4. 4

   $\dfrac{dy}{dx}$の項を片側に集める。 2つの微分を等置すると、$\sec y + x\sec y\tan y\,\frac{dy}{dx}=4\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}\tan 2x-2y\sec^{2}2x,$

   $\dfrac{dy}{dx}$を含む項を右へ、それ以外を左へ移すと、$\sec y + 2y\sec^{2}2x=\frac{dy}{dx}\left(4-\tan 2x-x\sec y\tan y\right).$

5. 5

   割って導関数を単独にする。 $\frac{dy}{dx}=\frac{\sec y + 2y\sec^{2}2x}{4-\tan 2x-x\sec y\tan y}.$結果が$x$と$y$の両方を含むのは陰関数の曲線では当然のことであり、具体的な数値を出すには元の方程式を実際に満たす点が必要になる。

6. 6

   陰関数定理で検算する。 $F(x,y)=x\sec y-4y+y\tan 2x$とおくと$F_{x}=\sec y+2y\sec^{2}2x$、$F_{y}=x\sec y\tan y-4+\tan 2x$であり、$\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{F_{x}}{F_{y}}$から同じ式が再現される。数値でも確認できる：$x=0.3$のとき曲線は$y=0.09084883$を通り、陰的に解いた$y(x)$の中心差分は$0.38647161$、上の式も$0.38647161$を与える。