y = 5cos(3x²) を x について微分せよ。

Step-by-step solution

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   合成の構造を見抜く。 この関数は単なる $x$ ではないものの余弦なので、合成関数の微分が必要である。層に分けると、定数倍の $5$、外側の関数 $\cos(u)$、そして内側の関数

   $u=3x^{2}$

   である。$\cos(3x^{2})$ を $\cos x$ のつもりで微分して $-\sin(3x^{2})$ だけで済ませてしまう——合成関数の微分はまさにこの誤りを防ぐために存在する。

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   定数を外に出す。 定数倍は微分をそのまま通り抜ける：

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\frac{d}{dx}\left[\cos\!\left(3x^{2}\right)\right]$

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   中身はそのままに、外側の関数を微分する。 $\frac{d}{du}\cos u=-\sin u$ なので、合成関数の微分法則から

   $\frac{d}{dx}\cos u=-\sin(u)\cdot\frac{du}{dx}$

   となる。$\sin$ の中身はちょうど $3x^{2}$ のまま——正弦の中で中身が微分されることは決してない。

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   内側を微分して掛ける。 べき乗の公式より $\dfrac{du}{dx}=\dfrac{d}{dx}\left(3x^{2}\right)=6x$ なので

   $\frac{dy}{dx}=5\cdot\left[-\sin\!\left(3x^{2}\right)\right]\cdot6x=-30x\sin\!\left(3x^{2}\right)$

   3 つの数の因子 $5$、$-1$、$6$ がまとまって係数 $-30$ になる。

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   数値で検証する。 $h=10^{-6}$ の中心差分 $\frac{y(x+h)-y(x-h)}{2h}$ は $x=0.4$、$1.1$、$2.0$ で $-30x\sin(3x^{2})$ と $10^{-5}$ 以内で一致する ✓。構造の確認も通る：$x=0$ で導関数は $0$ になるが、これは $y=5\cos(3x^{2})$ がそこで最大値をとるので正しい。