n → ∞ のときの (3n² − 4n + 9)/(n² + 32n + 48) − √(n² + n + 18) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   式を分けて、それぞれを別々に調べる。 2つの部分の振る舞いはまったく異なるので、ここに解消すべき不定形は存在しない——ロピタルの定理や共役の技巧に手を伸ばす前に、それを見抜くことが要点である。

2. 2

   有理式の部分の極限を求める。 分子と分母を最高次の$n^2$で割ると：$\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48} = \frac{3-\tfrac4n+\tfrac{9}{n^2}}{1+\tfrac{32}{n}+\tfrac{48}{n^2}} \longrightarrow \frac{3}{1} = 3.$上下の次数が等しいので、極限は最高次係数の比になる。

3. 3

   平方根の振る舞いを求める。 根号の中から$n^2$をくくり出すと：$\sqrt{n^2+n+18} = n\sqrt{1+\tfrac1n+\tfrac{18}{n^2}} \sim n \cdot 1 = n \to +\infty,$ここでは$n\to+\infty$より$|n|=n$を使った。より詳しくは$n+\tfrac12+O(1/n)$である。

4. 4

   2つの振る舞いを合わせる。 式は（$3$に近づくもの）から（$+\infty$に向かうもの）を引いた形である。有界な量から限りなく大きい量を引けば下に有界でなくなる：$3-(+\infty) = -\infty.$これは不定形ではなく確定した形である。

5. 5

   数値で確認する。 $n=10^6$では有理式の部分が$2.99990$、平方根が$1{,}000{,}000.5000$なので、差はおよそ$-999{,}997.5$——予測どおりすでに$-n$を追っている。

6. 6

   結論を述べる。 $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2-4n+9}{n^2+32n+48}-\sqrt{n^2+n+18}\right) = -\infty,$であり、漸近的にはこの式は$-n+2.5$のように振る舞う。