n を 1 から無限まで動かしたときの級数 n/(n+1)! の和を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   分子を分母の階乗に合わせて分ける。 障害は $n$ と $(n+1)!$ が歩調を合わせていないことである。$n = (n+1) - 1$ と書けばそれが解消する。

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{(n+1) - 1}{(n+1)!} = \frac{n+1}{(n+1)!} - \frac{1}{(n+1)!}$

2. 2

   1 つ目の部分を簡単にする。 $(n+1)! = (n+1)\cdot n!$ なので、因子 $(n+1)$ が約分される。

   $\frac{n+1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!}$

   したがって一般項は、連続する階乗の逆数の差になる。

   $\frac{n}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$

3. 3

   部分和を書き、途中が消えるのを見る。 $a_n = \tfrac{1}{n!}$ とおくと一般項は $a_n - a_{n+1}$ なので

   $S_N = \sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}\right) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{(N+1)!}$

   となる。途中の項はどれも正負 1 回ずつ現れる。これがこの級数を単に収束するだけでなく望遠鏡型にしている。

4. 4

   極限をとる。 階乗はどんな冪よりも速く増えるので $\frac{1}{(N+1)!} \to 0$ となり

   $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!} = \lim_{N\to\infty} S_N = 1$

   である。

5. 5

   数値で妥当性を確かめる。 最初の 5 項は $\tfrac12 + \tfrac{2}{6} + \tfrac{3}{24} + \tfrac{4}{120} + \tfrac{5}{720} = 0.5 + 0.333333 + 0.125 + 0.033333 + 0.006944 = 0.998611$ であり、$1 - \tfrac{1}{6!} = 1 - 0.001389 = 0.998611$ とちょうど一致して、$S_5$ の閉じた形と符合する。