z が 0.9621 − sqrt(0.9649^2 − (x − 0.4167)^2) から 0.9621 + sqrt(0.9649^2 − (x − 0.4167)^2)、y が 1.7476 − sqrt(1.7476^2 − x^2) から 0.6773、x が 0.34356 から 1.3815 まで動くとき、1 の三重積分 dz dy dx を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   この積分を体積として読む。 被積分関数は定数 $1$ なので、三重積分の値は 3 組の積分限界が定める領域の体積そのものである。この読み替えは有用である。答えが必ず正になることが分かるし、あとで妥当性を確かめるための大まかな大きさも見当がつくからである。

2. 2

   限界の対称性を利用して $z$ の積分を行う。 2 つの限界はどちらも中心 $z=0.9621$ から距離 $R(x)=\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$ にあるので、板の厚みはその半径の 2 倍にすぎない。

   $\int_{0.9621-R(x)}^{0.9621+R(x)}1\,dz=2R(x)=2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}$

   中心の $0.9621$ は打ち消し合い、以後二度と現れない。効くのは半幅だけである。

3. 3

   $y$ の積分は単なる長さになる。 残った被積分関数に $y$ は含まれないので、$y$ で積分することは $y$ 区間の長さを掛けることに等しい。

   $L(x)=0.6773-\left(1.7476-\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}\right)=\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703$

   $x$ の全範囲で $L(x)>0$ であることを確認する。$L(x)>0$ には $x^{2}<1.7476^{2}-1.0703^{2}=1.90856$ すなわち $x<1.38151$ が必要で、$x$ の上端は $1.3815$ である。領域は端まで退化しない。

4. 4

   $x$ についての 1 つの積分に帰着させる。 2 つの結果を合わせると

   $V=\int_{0.34356}^{1.3815}2\sqrt{0.9649^{2}-(x-0.4167)^{2}}\left(\sqrt{1.7476^{2}-x^{2}}-1.0703\right)dx$

   となる。異なる 2 つの平方根の積には初等的な原始関数が無いので、この最後の段階は数値計算にならざるをえない。

5. 5

   数値積分し、値が安定していることを確認する。 この被積分関数に中点則を適用すると、小区間 $10^{5}$ 個で $0.73418869$、$10^{6}$ 個で $0.73418869$、$10^{7}$ 個で $0.73418869$ となる。独立にシンプソン則で計算しても 8 桁まで一致する。よって

   $V\approx 0.7342$

   3 段階の細分と 2 種類の公式で一致することが、この値を信頼できるものにしている。1 回の粗い計算だけではそうはいかない。