0.4 × e^(−s) + 0.2 × e^(−2s) + 0.4 × e^(−3s) の逆ラプラス変換を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず指数の符号を確認する。 ラプラス領域の関数は$a > 0$として$e^{-as}$の形をとる。$e^{+as}$という因子は時間軸を後ろ向きにずらすことを意味し、いかなる因果的な関数の変換にもならない。したがって$e^{s}$、$e^{2s}$、$e^{3s}$と書かれた式は、逆変換する前に$e^{-s}$、$e^{-2s}$、$e^{-3s}$と読み替えなければならない。

2. 2

   指数関数に F(s) が掛かっていないことに注目する。 第2移動定理は

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}F(s)\right\} = u(t-a)\,f(t-a)$

   と述べる。ここでは各指数関数が単独で立っており、つまり$F(s) = 1$である。$1$の逆変換は通常の関数ではなく、$\mathcal{L}\{\delta(t)\} = 1$であることからディラックのデルタ$\delta(t)$になる。

3. 3

   各項にデルタのシフト則を適用する。 上の2つの事実を組み合わせると：

   $\mathcal{L}^{-1}\left\{e^{-as}\right\} = \delta(t - a)$

   なので、3つの項はそれぞれ$t = 1$、$t = 2$、$t = 3$におけるインパルスに戻る。

4. 4

   線形性を使って答えを組み立てる。 逆変換は線形なので、係数はそのまま通り抜ける：

   $\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{2}{5}\delta(t-1) + \frac{1}{5}\delta(t-2) + \frac{2}{5}\delta(t-3)$

   これは強さ$0.4$、$0.2$、$0.4$の3つのインパルスからなる列である。

5. 5

   変換し直して検証する。 各インパルスに$\int_0^\infty \delta(t-a)e^{-st}\,dt = e^{-as}$を使うと、$\tfrac25 e^{-s} + \tfrac15 e^{-2s} + \tfrac25 e^{-3s}$がそのまま復元される。係数の和が$\tfrac25 + \tfrac15 + \tfrac25 = 1$である点にも注目したい——インパルスの総強度は$1$であり、単独の$\delta(t)$と同じ総面積が3つの時刻に分配されているだけである。