y = x² と x = y² で囲まれた領域を y 軸のまわりに回転してできる立体の体積を、円板・ワッシャー法で求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   交点を求める。 $y=x^2$ に $x=y^2$ を代入すると $y=y^{4}$、すなわち $y(y^{3}-1)=0$ なので $y=0$ または $y=1$ である。2 曲線は $(0,0)$ と $(1,1)$ で交わるので、領域は単位正方形の中に収まる。

2. 2

   回転軸が y 軸なので y について積分する。 $y$ 軸に垂直なワッシャーは水平なので、両方の境界を $y$ の式として $x$ について書き直さなければならない。

   $y=x^{2}\ \Rightarrow\ x=\sqrt{y}\ \ (\text{右側＝外側の境界}),\qquad x=y^{2}\ \ (\text{左側＝内側の境界})$

   $0<y<1$ では $\sqrt y>y^{2}$（たとえば $y=\tfrac14$ で $0.5>0.0625$）なので、どちらが外側かが確かめられる。

3. 3

   ワッシャーの積分を立てる。 ワッシャーの半径は $y$ 軸からの水平距離である。

   $V=\pi\int_{0}^{1}\left[\left(\sqrt y\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}\right]dy=\pi\int_{0}^{1}\left(y-y^{4}\right)dy$

4. 4

   計算する。

   $V=\pi\left[\frac{y^{2}}{2}-\frac{y^{5}}{5}\right]_{0}^{1}=\pi\left(\frac12-\frac15\right)=\pi\cdot\frac{3}{10}$

   $\boxed{V=\dfrac{3\pi}{10}\approx 0.942}$

5. 5

   バウムクーヘン法で照合する。 $y$ 軸まわりの円筒殻は $x$ について積分し、半径は $x$、高さは $\sqrt x-x^{2}$ である。

   $V=2\pi\int_{0}^{1}x\left(\sqrt x-x^{2}\right)dx=2\pi\int_{0}^{1}\left(x^{3/2}-x^{3}\right)dx=2\pi\left(\frac25-\frac14\right)=2\pi\cdot\frac{3}{20}=\frac{3\pi}{10}$

   独立した 2 つの方法が一致しており、積分限界と外側・内側の取り方の両方に対する最も強い検算になっている。