1/(a+b) に、θ が 0 から arctan(b/a) まで、内側が r = 0 から a/cos(θ) までの r² dr の積分を掛けたものを求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   積分領域を把握する。 外側の上端$r=\dfrac{a}{\cos\theta}$は**鉛直な直線$x=a$**の極方程式であり、$\theta$は$0$から$\arctan(b/a)$まで動く。したがって掃かれる領域は頂点$(0,0)$、$(a,0)$、$(a,b)$をもつ直角三角形である——これが分かると、積分区間が恣意的なものではなく意味をもって見えてくる。

2. 2

   内側の$r$積分を実行する。

   $\int_{0}^{a/\cos\theta}r^{2}\,dr=\left[\frac{r^{3}}{3}\right]_{0}^{a/\cos\theta}=\frac{a^{3}}{3\cos^{3}\theta}=\frac{a^{3}}{3}\sec^{3}\theta$

   上端が3乗されることで、単純なべき乗の問題がセカント3乗の問題に変わる。

3. 3

   セカント3乗の原始関数を思い出す。 これは部分積分による標準的な結果である：

   $\int\sec^{3}\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\left(\sec\theta\tan\theta+\ln\left|\sec\theta+\tan\theta\right|\right)+C$

   この計算の中で、単純な置換では済まない唯一の部分がここである。

4. 4

   上端で値を求める。 $\theta_{0}=\arctan(b/a)$とすると、直角三角形の幾何から

   $\tan\theta_{0}=\frac{b}{a},\qquad\sec\theta_{0}=\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a}$

   なので$\sec\theta_{0}\tan\theta_{0}=\dfrac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}$、$\sec\theta_{0}+\tan\theta_{0}=\dfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$となる。$\theta=0$では$\sec\theta\tan\theta$も$\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\ln1$もともに消える。

5. 5

   閉じた形に組み立てる。 定数$\dfrac{a^{3}}{3}\cdot\dfrac12\cdot\dfrac{1}{a+b}$をまとめると：

   $\frac{a^{3}}{6(a+b)}\left(\frac{b\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{a^{2}}+\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}\right)$

   あるいは第1項を分配して、

   $\frac{ab\sqrt{a^{2}+b^{2}}}{6(a+b)}+\frac{a^{3}}{6(a+b)}\ln\frac{\sqrt{a^{2}+b^{2}}+b}{a}$

6. 6

   いくつかのパラメータ値で数値検証する。 $\dfrac{a^{3}\sec^{3}\theta}{3(a+b)}$のシンプソン数値積分と閉じた形を比べると、$(a,b)=(1,1)$では両方とも$0.1912989291$、$(2,3)$では両方とも$1.0397137797$、$(0.7,1.9)$では両方とも$0.2105370143$になる ✓——いずれの場合も$10^{-8}$より良い精度で一致する。