微分方程式 2xy(y′)² + 2(x² + y²)y′ + 2xy = 0 を、まず y′ について解き、続いて得られた各 1 階方程式を積分して解け。

Step-by-step solution

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   この式はまだ微分方程式ではなく、$y'$ についての代数方程式だと見抜く。 全体を $2$ で割り、$p=y'$ とおく：

   $xy\,p^{2}+(x^{2}+y^{2})\,p+xy=0.$

   ここには $p$ の導関数が一切現れないので、これは「係数」がたまたま $x$ と $y$ に依存するだけの、ふつうの 2 次方程式である。これを解けば、1 本の厄介な方程式が 2 本のきれいな変数分離形に変わる。

2. 2

   判別式を計算し、完全平方であることに気づく。

   $(x^{2}+y^{2})^{2}-4(xy)(xy)=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}-y^{2})^{2}.$

   この問題が閉じた形で解ける理由がここにある。平方根が有理式として出てくるからである：$\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}}=|x^{2}-y^{2}|$ であり、符号の違いは 2 次方程式の解の公式の $\pm$ が吸収してくれる。

3. 3

   2 つの分岐を読み取る。

   $p=\frac{-(x^{2}+y^{2})\pm(x^{2}-y^{2})}{2xy}.$

   $+$ の分岐からは $p=\dfrac{-2y^{2}}{2xy}=-\dfrac{y}{x}$、$-$ の分岐からは $p=\dfrac{-2x^{2}}{2xy}=-\dfrac{x}{y}$ が得られる。どちらも変数分離形である。

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   第 1 の分岐 $y'=-y/x$ を積分する。 変数を分離すると、

   $\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}\;\Longrightarrow\;\ln|y|=-\ln|x|+c\;\Longrightarrow\;\ln|xy|=c,$

   となるので $xy=C_{1}$、すなわち直角双曲線の族である。

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   第 2 の分岐 $y'=-x/y$ を積分する。 変数を分離すると、

   $y\,dy=-x\,dx\;\Longrightarrow\;\frac{y^{2}}{2}=-\frac{x^{2}}{2}+c\;\Longrightarrow\;x^{2}+y^{2}=C_{2}:$

   原点を中心とする円の族になる。

6. 6

   両方の族をもとの方程式で検算する。 $xy=C_1$ では $y'=-y/x$ であり、代入すると $xy\frac{y^{2}}{x^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{y}{x}+xy=\frac{y^{3}}{x}-xy-\frac{y^{3}}{x}+xy=0$ となる。$x^{2}+y^{2}=C_2$ では $y'=-x/y$ であり、代入すると $xy\frac{x^{2}}{y^{2}}-(x^{2}+y^{2})\frac{x}{y}+xy=\frac{x^{3}}{y}-\frac{x^{3}}{y}-xy+xy=0$ となる。どちらも恒等的に消える。幾何的には、この 2 つの族は直交していない。傾き $-y/x$ と $-x/y$ の積は $-1$ ではなく $+1$ である。両者は同じ 2 次方程式の 2 つの根であり、$|x|=|y|$ のところでちょうど一致する。そこでは判別式が消えて 2 つの分岐が融合し、双曲線は円に接する。（$xy=C$ の直交軌道は双曲線 $x^2-y^2=C$ である。）