x → ∞ のときの (1/i) × e^(ix) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   まず定数$\dfrac{1}{i}$を簡単にする。 分子と分母に$i$を掛け、$i^{2}=-1$を使うと：

   $\frac{1}{i}=\frac{i}{i^{2}}=\frac{i}{-1}=-i$

   よって式は$-ie^{ix}$である。このように分母から$i$を追い出す操作は、有理化の複素数版にあたる。

2. 2

   オイラーの公式で展開する。 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$なので、

   $-i\left(\cos x+i\sin x\right)=-i\cos x-i^{2}\sin x=\sin x-i\cos x$

   実部は$\sin x$、虚部は$-\cos x$である。

3. 3

   成分ごとに極限を調べる。 複素数値関数が収束するのは、実部と虚部がともに収束するとき、かつそのときに限る。ここでは$\sin x$が$-1$と$1$の間をいつまでも振動し、$\cos x$も同様なので、$x\to\infty$でどちらの成分にも極限がない。

4. 4

   絶対値が減衰しないことに注目する。 $\left|e^{ix}\right|=1$、$\left|-i\right|=1$なので、

   $\left|\frac{1}{i}e^{ix}\right|=1\quad\text{（すべての }x\text{ について）}$

   この点は内側へ螺旋を描くことがない：一定の速さで単位円を回り続け、$2\pi$ごとに出発点に戻ってくる。

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   極限が存在しないと結論する。 2つの部分列が異なる値に落ち着く——$x=2\pi n$では式は$-i$になり、$x=\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$では$1$になる。極限が存在するならこれらは一致しなければならないので、

   $\lim_{x\to\infty}\frac{1}{i}e^{ix}\ \text{は存在しない。}$