f(x) = (x^2 − 1)/(x^2 − 3x + 2) はどの x の値で不連続か。それぞれの不連続点を除去可能か除去不可能かに分類し、理由も述べよ。

Step-by-step solution

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   候補を見つける：分母の零点。 有理関数は分母が $0$ でないところではつねに連続なので、問題が起こりうるのは

   $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)=0\ \Longrightarrow\ x=1,\ x=2.$

   のときだけである。

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   分子も因数分解する。分類を決めるのはここである。 $x^2-1=(x-1)(x+1)$ なので、

   $f(x)=\frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}.$

   不連続点が除去可能になるのは、問題の因子がちょうど約分できるときに限る。約分できれば両側極限が存在し、欠けているのは関数値だけになるからである。

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   $x=1$ を調べる：因子が約分されるので極限が存在する。 $x\neq 1$ では関数は $\dfrac{x+1}{x-2}$ に等しいので、

   $\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1+1}{1-2}=-2,$

   である一方、$f(1)$ は定義されていない。極限は存在するが（欠けている）関数値と一致しないので、$x=1$ は除去可能な不連続点であり、$(1,-2)$ に穴があく。$f(1)=-2$ と定義し直せば連続にできる。

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   $x=2$ を調べる：因子が残る。 $x=2$ の近くでは約分後の形 $\dfrac{x+1}{x-2}$ において、分子は $3\neq 0$ に近づき分母は $0$ に近づくので、

   $\lim_{x\to 2^-}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to 2^+}f(x)=+\infty.$

   数値で見ると $f(1.999999)\approx -3\times 10^{6}$、$f(2.000001)\approx 3\times 10^{6}$ である。有限の極限が存在しないので、定義し直しても直せない。$x=2$ は除去不可能（垂直漸近線をもつ無限不連続）である。

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   理由を添えて結論する。 $f$ が不連続なのは $x=1$ と $x=2$ のときだけである。$x=1$ は共通因子 $x-1$ が約分でき極限 $-2$ が存在するので除去可能、$x=2$ は片側極限が符号の異なる無限大になるので除去不可能である。