√(x^2 + 1) の x = 0 のまわりのテイラー級数を求め、一般項と収束域を述べよ。

Step-by-step solution

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   $t=x^{2}$ として二項級数を適用する。 一般化された二項定理は

   $(1+t)^{\alpha}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{\alpha}{n}t^{n},$

   を与え、ここでは $\alpha=\tfrac12$、$t=x^{2}$ である。$t$ 自体が平方なので、現れ得るのは $x$ の偶数次の項だけである——$\sqrt{x^{2}+1}$ が偶関数であることからも、まさにそうあるべきである。

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   係数を 1 つずつ計算する。 $\binom{1/2}{n}=\frac{\tfrac12\left(\tfrac12-1\right)\cdots\left(\tfrac12-n+1\right)}{n!}$ を使うと

   $n=1:\ \tfrac12x^{2};\qquad n=2:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)}{2}x^{4}=-\tfrac18x^{4};$

   $n=3:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)}{6}x^{6}=\tfrac{1}{16}x^{6};\qquad n=4:\ \frac{\tfrac12\left(-\tfrac12\right)\left(-\tfrac32\right)\left(-\tfrac52\right)}{24}x^{8}=-\tfrac{5}{128}x^{8}.$

   となる。$\sqrt{1+2x}$ の展開と違い、ここには持ち越すべき $2^{n}$ の因子がない——代入が供給するのは定数ではなく $x$ の累乗だからである。

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   展開を書く。 項をまとめると

   $\sqrt{1+x^{2}}=1+\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{4}}{8}+\frac{x^{6}}{16}-\frac{5x^{8}}{128}+\cdots$

   となる。符号は $x^{4}$ の項から先で交互になり、係数は急速に小さくなるので、$x$ が小さければ数項でも非常に精度が高い。

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   一般項を述べる。 閉じた形では

   $\sqrt{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{1/2}{n}x^{2n},\qquad \binom{1/2}{n}=\frac{(-1)^{n-1}}{4^{n}(2n-1)}\binom{2n}{n}\ (n\ge1).$

   となる。$n=2$ で確かめると $\frac{-1}{16\cdot 3}\cdot 6=-\frac{6}{48}=-\frac18$ ✓ で、$x^{4}$ の係数と一致する。

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   収束域を定める。 二項級数には $|t|=|x^{2}|<1$、すなわち $|x|<1$ が必要である。$x=\pm1$ では項が $n^{-3/2}$ のように振る舞うのでそこでも絶対収束し、収束域は閉区間 $[-1,1]$ になる。$x=1$ では $\sqrt2=1.4142136$ に収束するが、その速さは遅い。$x^{8}$ の項で打ち切ると $1.3984375$、$x^{20}$ までの項で $1.40993$、$x^{80}$ までとってもまだ $1.41366$ である。収束が速いのは区間の内部の性質であって、端点の性質ではない。