y = f(x) = x³ について、x が 3 から 5 まで変化するときの y の平均変化率を求めよ。

Step-by-step solution

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   定義を書く。 区間 $[a,b]$ における $f$ の平均変化率は $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ である——これは $(a,f(a))$ と $(b,f(b))$ を通る割線の傾きであって、1 点における微分係数ではない。

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   両端で値を求める。 $f(5)=5^3=125$、$f(3)=3^3=27$ である。

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   $y$ の変化量を作る。 $\Delta y=125-27=98$ である。

4. 4

   $x$ の変化量を作る。 $\Delta x=5-3=2$ である。

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   割る。 $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{98}{2}=49$ となる。つまりこの区間では、$x$ が 1 増えるごとに $y$ は平均して $49$ ずつ増える。

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   瞬間の変化率と比べる。 $f'(x)=3x^2$ なので、傾きは $x=3$ で $27$、$x=5$ で $75$ である。平均の $49$ はその間にあり、平均値の定理が要求するとおりになっている。