n → ∞ のときの (2ⁿ + (−7)ⁿ) を (2ⁿ⁺¹ + (−7)ⁿ⁺¹) で割ったものの極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   絶対値を比べて支配項を見つける。 競合する底の大きさは$|2|=2$と$|-7|=7$である。$7>2$なので、$n$が大きくなるにつれて$(-7)^n$の項が$2^n$の項を圧倒する——符号が交代してもどちらが大きいかは変わらない。

2. 2

   ずれたべき乗から因子を1つ切り離す。 分母の両方の項が分子と同じ指数になるように書き直す：

   $2^{n+1}=2\cdot 2^{n},\qquad (-7)^{n+1}=(-7)\cdot(-7)^{n}.$

3. 3

   分子と分母を支配項で割る。 $r=\dfrac{2}{-7}$とおくと$\dfrac{2^{n}}{(-7)^{n}}=r^{n}$なので：

   $\frac{2^{n}+(-7)^{n}}{2\cdot 2^{n}-7\cdot(-7)^{n}}=\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}.$

4. 4

   小さい比を0に飛ばす。 $|r|=\tfrac27<1$なので$n\to\infty$のとき$r^{n}\to 0$である——符号は交代するが等比的に縮むので、いずれにせよ極限は$0$になる。

5. 5

   極限を読み取る。

   $\lim_{n\to\infty}\frac{r^{n}+1}{2r^{n}-7}=\frac{0+1}{0-7}=-\frac{1}{7}.$

6. 6

   厳密な有理数演算で確認する。 もとの商を分数のまま評価すると、$n=10$で$-0.14285781$、$n=11$で$-0.14285695$、$n=50$、$51$、$200$、$201$ではいずれも$-0.142857142857$となる——$n$の偶奇が交代するにつれて両側から$-\tfrac17=-0.142857\ldots$に収束していく。