√y/3 ≤ x ≤ √y/2、0 ≤ y < ∞ の領域上での x × e の −y² 乗の二重積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   先に $x$ で積分する——順序はすでに都合よく書かれている。 領域は左右を「$y$ の式で書かれた $x$」の曲線で囲まれているので、$dx$ は内側に来るのが正しい。しかもその内側の積分にとって $e^{-y^{2}}$ は定数である。これは重要で、$e^{-y^{2}}$ は $y$ について初等的な原始関数を持たないので、後回しにすることが不可欠なのである。

   $\int_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2} x\,dx=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{\sqrt y/3}^{\sqrt y/2}.$

2. 2

   かっこの中を評価する。 積分区間の端を 2 乗すると平方根が消える：$(\sqrt y/2)^{2}=y/4$、$(\sqrt y/3)^{2}=y/9$。よって

   $\frac12\left(\frac{y}{4}-\frac{y}{9}\right)=\frac12\cdot\frac{9y-4y}{36}=\frac{5y}{72}.$

   つまりこの帯は各 $y$ に重み $5y/72$ を与える。$y$ について 1 次のこの因子こそが、外側の積分を初等的にしてくれる。

3. 3

   1 変数の積分に落とす。

   $\int_{0}^{\infty}\frac{5y}{72}e^{-y^{2}}\,dy=\frac{5}{72}\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy.$

4. 4

   $u=y^{2}$ と置換する。 すると $du=2y\,dy$、すなわち $y\,dy=\tfrac12\,du$ であり、積分区間 $y=0,\infty$ は $u=0,\infty$ に移る：

   $\int_{0}^{\infty}y\,e^{-y^{2}}\,dy=\frac12\int_{0}^{\infty}e^{-u}\,du=\frac12\bigl[-e^{-u}\bigr]_{0}^{\infty}=\frac12.$

   上端が無限大でも困らないのはこのためである。余分な $y$ の因子がガウス型をただの指数関数に変えてしまう。

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   2 つの因子を掛け、数値で確認する。

   $\frac{5}{72}\cdot\frac12=\frac{5}{144}.$

   $\int_{0}^{\infty}\tfrac{5y}{72}e^{-y^{2}}dy$ に適応求積を当てると $0.0347222222$ が返り、$5/144=0.034722\overline{2}$ ——10 桁まで一致する。