2 ≤ x ≤ 3、0 ≤ y ≤ 2x-4、0 ≤ z ≤ 5x+5y-3 で表される領域 E 上で、2x - 4yz の三重積分を計算せよ。

Step-by-step solution

1. 1

   領域の記述から積分の順序を読み取る。 どの範囲も、それより左にある変数にしか依存していないので、この領域はすでに $dz\,dy\,dx$ の形に整っている：

   $\int_{2}^{3}\int_{0}^{2x-4}\int_{0}^{5x+5y-3}(2x-4yz)\,dz\,dy\,dx$

2. 2

   まず $z$ で積分する。 $x$ と $y$ は定数とみなす。原始関数は $2xz - 2yz^2$ なので、$0$ から $5x+5y-3$ まで評価すると

   $2x(5x+5y-3)-2y(5x+5y-3)^2$

   が得られる。

3. 3

   被積分関数を展開する。 $(5x+5y-3)^2 = 25x^2+25y^2+9+50xy-30x-30y$ なので、括弧の中は

   $10x^2+70xy-6x-50x^2y-100xy^2+60y^2-50y^3-18y$

   になる。

4. 4

   $y$ について $0$ から $a = 2x-4$ まで積分する。 原始関数は

   $(10x^2-6x)y+35xy^2-25x^2y^2-\tfrac{100x}{3}y^3+20y^3-\tfrac{25}{2}y^4-9y^2$

   である。$y=a$ を代入すると $x$ だけの多項式が残る（$y=0$ の側は何も寄与しない）。

5. 5

   終える前に役立つ確認を1つ。 $a = 2x-4$ は $x=2$ で $0$ になるので、下端では被積分関数全体が消える。もし式がそうならないなら、ここまでの計算のどこかで間違えている。

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   得られた $x$ の多項式を $2$ から $3$ まで積分する。 どの項も $x$ の累乗なので、この最後の手順は定型的である。厳密な有理数のまま計算を通すと

   $\iiint_E (2x-4yz)\,dV = -268$

   が得られる。

7. 7

   要点。 ここでの本当の難所は計算の管理だけである。不等式が指示する順序で積分し、範囲を1つずつ代入し、次の変数に移る前に完全に展開すること。すべてを厳密な分数のまま保つこと。三重積分の途中で丸めることが、符号や桁の誤りが入り込む最大の原因である。