a、b を定数とするとき、微分方程式 y″ − a·y′ + b·y = 0 の一般解を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   特性方程式を導く。 $y = e^{rx}$ を試すと $y' = re^{rx}$、$y'' = r^2e^{rx}$ なので

   $e^{rx}\left(r^2 - ar + b\right) = 0$

   となる。$e^{rx}$ は決して 0 にならないので、指数は

   $r^2 - ar + b = 0$

   を満たさねばならない。符号に注意する。中央の係数が $-a$ なので、特性方程式には $+ar$ ではなく $-ar$ が現れる。

2. 2

   r を解いて判別式を見る。

   $r = \frac{a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2}$

   ここから先はすべて $D = a^2 - 4b$ の符号で決まる。だからこそ答えは必然的に 3 通りに分かれる。

3. 3

   D > 0 の場合：相異なる 2 つの実数解。 $r_{1,2} = \tfrac{a \pm \sqrt{a^2-4b}}{2}$ として

   $y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$

   となる。$r_1 \ne r_2$ なので、2 つの指数関数は独立である。

4. 4

   D = 0 の場合：重解。 このとき $r = \tfrac{a}{2}$ であり、$e^{rx}$ だけでは 1 パラメータの族しか得られない。もう 1 つの独立な解は $xe^{rx}$ である：

   $y = \left(C_1 + C_2x\right)e^{ax/2}$

5. 5

   D < 0 の場合：共役な複素解。 $r = \tfrac{a}{2} \pm i\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$ と書いて実部と虚部を取ると：

   $y = e^{ax/2}\left(C_1\cos\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right) + C_2\sin\!\left(\tfrac{\sqrt{4b-a^2}}{2}x\right)\right)$

   実部 $\tfrac{a}{2}$ が増大か減衰かを支配し、虚部が振動数を決める。

6. 6

   具体例で確認する。 $a = 3$、$b = 2$ とすると $D = 9 - 8 = 1 > 0$、解は $r = 2$ と $r = 1$ で $y = C_1e^{2x} + C_2e^{x}$ となる。$y = e^{2x}$ を代入すると $4e^{2x} - 3(2e^{2x}) + 2e^{2x} = 0$。正しい。$a = 0$、$b = 4$ とすると $D = -16 < 0$ で $y = C_1\cos 2x + C_2\sin 2x$ となり、これはおなじみの $y'' + 4y = 0$ の解である。