x が無限大に近づくときの x^3 * e^(-2x) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

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   $\infty\cdot 0$ を $\infty/\infty$ に変える。 書かれたままでは、この極限は $x^3\to\infty$ と $e^{-2x}\to 0$ の積であり、直接あてはまる法則がない。指数関数を分母に移せば解決する。

   $x^{3}e^{-2x}=\frac{x^{3}}{e^{2x}}$

   これでどちらの部分も $\infty$ に向かい、ロピタルの定理が扱える形になる。

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   分子と分母を 1 回微分する。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}$

   1 回通るごとに分子の次数は 1 つ下がるが、分母は定数 $2$ が掛かるだけである——指数関数は決して小さくならない。

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   さらに 2 回微分する。

   $\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}}{2e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6x}{4e^{2x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{6}{8e^{2x}}$

   分子が定数になるまで各段階は $\infty/\infty$ のままであり、定数になったところでやめる。

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   最後の式を評価する。 分子は $6$ に固定され、$e^{2x}\to\infty$ なので

   $\frac{6}{8e^{2x}}\to 0\ \Longrightarrow\ \lim_{x\to\infty}x^{3}e^{-2x}=0$

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   一般的な原理として押さえる。 任意の $n>0$ と $a>0$ に対して $\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{n}e^{-ax}=0$ である。指数関数はあらゆる多項式に勝つ。これを知っていれば、ロピタルの定理を 3 回通す手間が一目で省ける。数値でも $x^3e^{-2x}$ は $x=20$ で $3.4\times 10^{-14}$、$x=50$ で $4.7\times 10^{-39}$ である ✓。