Vy, Vm, Vm20, b を定数とみなして、d = (Vy × 100)/(Vm + Vm20 × (t − 20) × b) − 100 の t についての偏微分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   加法的な定数を落とし、分母に名前を付ける。 末尾の $-100$ は微分すると 0 なので何の役割も果たさない。

   $D=V_m+V_{m20}(t-20)b,$

   とおくと、関数は

   $d=100V_y\,D^{-1}-100.$

   となる。商を負の冪として書けば、商の微分法が 1 行の連鎖律に変わる。

2. 2

   $D$ を $t$ で微分する。 $t$ に依存するのは因子 $(t-20)$ だけで、その微分は $1$ である。

   $\frac{\partial D}{\partial t}=V_{m20}b.$

   $-20$ は平行移動であって拡大縮小ではないので、微分には現れないことに注意する。

3. 3

   $D^{-1}$ に連鎖律を適用する。

   $\frac{\partial}{\partial t}\bigl(D^{-1}\bigr)=-D^{-2}\frac{\partial D}{\partial t}=-\frac{V_{m20}b}{D^{2}}.$

4. 4

   定数の因子を掛ける。

   $\frac{\partial d}{\partial t}=100V_y\left(-\frac{V_{m20}b}{D^{2}}\right)=-\frac{100\,V_y\,V_{m20}\,b}{\bigl(V_m+V_{m20}(t-20)b\bigr)^{2}}.$

5. 5

   符号を解釈する。 分母の 2 乗は正なので、$\partial d/\partial t$ の符号は $V_y V_{m20} b$ の符号の逆であり、$t$ が変わっても反転することはない。膨張係数 $b$ が 0 なら微分は恒等的に 0 になるが、これは正しい。$b=0$ のとき変数 $t$ は式からまるごと消えてしまうからである。