sin(x)/sin²(4cos(x)) dx の積分を求めよ。

Step-by-step solution

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   内側の関数とその導関数を見つける。 扱いにくいのは合成になっている$\sin^{2}(4\cos x)$の部分で、その内側の関数は$4\cos x$である。その導関数は$-4\sin x$であり、分子にはすでに$\sin x$という因子が置かれている。よって置換$u=4\cos x$で積分は完全に片づく。

2. 2

   置換を実行する。 $u=4\cos x$から$du=-4\sin x\,dx$、したがって$\sin x\,dx=-\frac14\,du$となり、$\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=-\frac14\int\frac{du}{\sin^{2}u}=-\frac14\int\csc^{2}u\,du .$

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   余割の2乗の標準的な原始関数を使う。 $\frac{d}{du}\cot u=-\csc^{2}u$なので$\int\csc^{2}u\,du=-\cot u+C$であり、$-\frac14\int\csc^{2}u\,du=\frac14\cot u+C .$

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   もとの変数に戻す。 $u=4\cos x$を代入し直すと$\int\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}\,dx=\frac14\cot(4\cos x)+C .$

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   微分して検証する。 $\frac{d}{dx}\left[\frac14\cot(4\cos x)\right]=\frac14\left(-\csc^{2}(4\cos x)\right)\cdot(-4\sin x)=\frac{\sin x}{\sin^{2}(4\cos x)}$となり、もとの被積分関数に戻る。よってこの原始関数は$\sin(4\cos x)\ne 0$であるすべての区間で正しい。