f(x) = (64 + x) の立方根 の x = 0 における局所線形近似を使って 62.5 の立方根を近似し、その値を厳密値と比べよ。

Step-by-step solution

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   なぜ $\sqrt[3]{x}$ ではなく $\sqrt[3]{64+x}$ と書くのかを理解する。 1次近似は基準点の近くでしか精度が出ず、しかも基準点で正確に値を計算できるときにだけ役に立つ。ここでは $64$ が立方数で $62.5$ はそれに近いので、変数をずらして基準点を $x_0=0$ に置けば $f(0)=\sqrt[3]{64}=4$ が厳密に分かる。

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   微分して基準点での微分係数を求める。 $f(x)=(64+x)^{1/3}$ と書くと、

   $f'(x)=\frac13(64+x)^{-2/3}=\frac{1}{3\sqrt[3]{(64+x)^2}}$

   $f'(0)=\frac{1}{3\cdot 64^{2/3}}=\frac{1}{3\cdot 16}=\frac{1}{48}$

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   線形化した式を書く。 $x_0=0$ における接線は

   $L(x)=f(0)+f'(0)(x-0)=4+\frac{x}{48}$

   である。これは、根号の中身が $x$ だけ少し変われば立方根はおよそ $x/48$ だけ変わる、と言っている。係数 $1/48$ がこの近似の中身のすべてである。

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   求めたい数になる入力を選ぶ。 $64+x=62.5$ が必要なので、

   $x=-1.5$

   $\sqrt[3]{62.5}\approx L(-1.5)=4+\frac{-1.5}{48}=4-0.03125=3.96875=\frac{127}{32}$

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   厳密値と比べる。

   $\sqrt[3]{62.5}=3.968503\ldots$

   $\text{絶対誤差}=3.96875-3.968503=0.000247,\qquad\text{相対誤差}\approx 0.0062\%$

   微分を1回計算しただけで、上位4桁が一致する精度が得られている。

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   誤差の向きが偶然でない理由を説明する。 もう一度微分すると、

   $f''(x)=-\frac{2}{9}(64+x)^{-5/3}<0$

   なので $f$ は $x=0$ の近くで上に凸であり、そのグラフはどの接線よりも下にある。したがって1次近似は必ず過大評価になる。実際 $3.96875>3.968503$ である。同じ理屈から誤差は $\tfrac12|f''(0)|x^2$ 程度で増えると予想され、$x=-1.5$ ではおよそ $0.00024$ となって、観測された誤差とほぼぴたりと一致する。