1/x² − 1/(3√x) の x についての不定積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   両方の項を$x$のべき乗に書き直す。 根号と分数の形が残っているうちはべき乗則を適用できない：

   $\frac{1}{x^2}=x^{-2},\qquad \frac{1}{3\sqrt x}=\frac13x^{-1/2}$

   この書き換えでこの問題は実質的に決着がつく。あとはすべて機械的な作業である。

2. 2

   $x^{-2}$を積分する。 指数に1を足すと$-1$になる：

   $\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-\frac1x$

   新しい指数が$-1$でないのでべき乗則が使える。代わりに対数が必要になるのは$\int x^{-1}dx$だけである。

3. 3

   $\tfrac13x^{-1/2}$を積分する。 $-\tfrac12$に1を足すと$+\tfrac12$になる：

   $\int\frac13x^{-1/2}dx=\frac13\cdot\frac{x^{1/2}}{1/2}=\frac{2}{3}x^{1/2}=\frac23\sqrt x$

   $\tfrac12$で割ると係数が2倍になる。だからこそ$\tfrac13$が$\tfrac23$になるのである。

4. 4

   マイナス符号と1つの積分定数をつけてまとめる。

   $\int\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\right)dx=-\frac1x-\frac23\sqrt x+C$

5. 5

   微分して検証する。

   $\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}-\frac23x^{1/2}+C\right)=x^{-2}-\frac23\cdot\frac12x^{-1/2}=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{3\sqrt x}\;\checkmark$

   定義域にも注意したい：平方根があるため被積分関数には$x>0$が必要であり、原始関数は$(0,\infty)$上で有効である。