(x + 3) の x についての積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和の法則で積分を分ける。 積分は線形なので、和は項ごとに処理できる：

   $\int(x+3)\,dx=\int x\,dx+\int 3\,dx$

2. 2

   1次の項をべき乗則で積分する。 ここでは$n=1$なので$n+1=2$である：

   $\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}$

3. 3

   定数を積分する。 定数$k$は$kx^0$であり、べき乗則によって$kx$に移る：

   $\int 3\,dx=3x$

   直観的には、傾きが常に$3$である関数は勾配$3$の直線だということである。

4. 4

   まとめて積分定数を1つだけ加える。 別々に2つ置いてもどのみち1つにまとまる：

   $\int(x+3)\,dx=\frac{x^2}{2}+3x+C$

5. 5

   微分して確かめる。 $\tfrac{d}{dx}\left(\tfrac{x^2}{2}+3x+C\right)=x+3$ $\checkmark$。$x=1.3$での数値確認では$\tfrac{x^2}{2}+3x$の差分商が$4.300$となり、被積分関数は$1.3+3=4.3$である $\checkmark$。