微分方程式 X'' = -0.1X を解け。

Step-by-step solution

1. 1

   すべての項を片側に寄せて標準形にする。 2 階線形の理論が使えるのは $aX''+bX'+cX=0$ の形に書かれた方程式に限られるので、両辺に $0.1X$ を足す。

   $X''+0.1X=0$

   $X'$ の項も右辺の外力項もないので、これは定数係数の同次方程式であり、指数関数を仮定する方法がまさに解ける場合である。

2. 2

   $X=e^{rt}$ を代入して微積分を代数に変える。 2 回微分すると $X'=re^{rt}$、$X''=r^{2}e^{rt}$ なので、方程式は

   $r^{2}e^{rt}+0.1e^{rt}=e^{rt}\left(r^{2}+0.1\right)=0$

   になる。実数の $t$ に対して $e^{rt}$ は決して 0 にならないので、括弧が 0 でなければならない。こうして特性方程式 $r^{2}+0.1=0$ が残る。

3. 3

   $r$ について解き、$r^{2}$ の符号を読む。

   $r^{2}=-0.1\qquad\Longrightarrow\qquad r=\pm i\sqrt{0.1}=\pm\frac{i}{\sqrt{10}}$

   根は純虚数であり、実部がまったくない。これは減衰のない振動の代数的な指紋である。この方程式には増大も減衰もする要素がない。

4. 4

   複素数の根を実の正弦・余弦に直す。 共役な組 $r=\pm i\omega$ に対して、実の独立な解は $\cos(\omega t)$ と $\sin(\omega t)$ なので、$\omega=\sqrt{0.1}$ とすると

   $X(t)=C_{1}\cos\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)+C_{2}\sin\!\left(\sqrt{0.1}\,t\right)$

   となる。$\sqrt{0.1}=1/\sqrt{10}$ と書けば同値な形 $X(t)=C_{1}\cos(t/\sqrt{10})+C_{2}\sin(t/\sqrt{10})$ が得られる。

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   代入して確かめる。 2 回微分すると各項に $-\omega^{2}=-0.1$ が掛かるので、$X''=-0.1X$ が恒等的に成り立つ。$C_{1}=1.3$、$C_{2}=-0.7$ として $t=0.5$、$1.7$、$3.3$ で $X$ の 2 階中心差分を数値的に求めると、$-0.1X(t)$ を $10^{-6}$ 以内で再現する ✓。

6. 6

   定数の意味を読む。 角振動数は $\omega=\sqrt{0.1}\approx0.3162$ rad／単位時間なので、周期は $T=2\pi/\omega=2\pi\sqrt{10}\approx19.87$ である。2 つの定数 $C_{1}$ と $C_{2}$ は初期条件で定まり、$C_{1}=X(0)$、$C_{2}=X'(0)/\omega$ となる。