x → +∞ のときの ln(e^x + x) / (x² + 1) の極限を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   和の対数を分けてはいけない。 $\ln(e^x+x)$は$\ln e^x+\ln x$ではない。正当な操作は、対数の中で支配的な項をくくり出し、そうしてできた積に対して$\ln(ab)=\ln a+\ln b$を使うことである。

2. 2

   対数の中で支配項$e^{x}$をくくり出す。 大きな$x$では$e^x$が$x$を圧倒するので、

   $e^{x}+x=e^{x}\left(1+xe^{-x}\right)$

   となり、したがって

   $\ln\left(e^{x}+x\right)=\ln\left(e^{x}\right)+\ln\left(1+xe^{-x}\right)=x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)$

3. 3

   補正項が無視できることを示す。 指数関数は多項式に勝つので$xe^{-x}\to 0$であり、したがって

   $\ln\left(1+xe^{-x}\right)\to\ln 1=0$

   つまり分子は$x$に消えていく量を足したものであり、ちょうど$x$の速さで増大し、それより速くはならない。

4. 4

   2つの増大の速さを比べる。 商は

   $\frac{x+\ln\left(1+xe^{-x}\right)}{x^{2}+1}\sim\frac{x}{x^{2}}=\frac{1}{x}$

   となる。1次の分子を2次の分母で割ったものは常に0に向かう。

5. 5

   極限を述べ、数値で確認する。

   $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\left(e^{x}+x\right)}{x^{2}+1}=0$

   $x=100$では値は$0.009999$、$x=500$では$0.002000$——$x$が2倍になれば値は半分になる、まさに予測どおりの$1/x$型の減衰である。