y = arcsin(x⁴)（y = sin⁻¹(x⁴) とも書く）を微分して整理せよ。

Step-by-step solution

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   合成であることを見抜き、使う公式の組を選ぶ。 外側の関数は逆正弦、内側の関数は $u=x^{4}$ なので、逆正弦の導関数と合成関数の微分の両方が要る。ここでの $\sin^{-1}$ は逆正弦であって $1/\sin$ ではない——この記法は実際に混乱のもとになる。

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   逆正弦の導関数を合成関数の形で書く。 $u$ を $x$ の関数として $y=\sin^{-1}(u)$ とすると

   $\frac{dy}{dx}=\frac{u'}{\sqrt{1-u^{2}}}$

   である。ここでは $u=x^{4}$ である。

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   内側の関数を微分する。 べき乗の公式より

   $u'=\frac{d}{dx}\left(x^{4}\right)=4x^{3}$

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   代入して根号の中を整理する。 $u=x^{4}$、$u'=4x^{3}$ を公式に入れると

   $\frac{dy}{dx}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-\left(x^{4}\right)^{2}}}=\frac{4x^{3}}{\sqrt{1-x^{8}}}$

   要となる整理は $\left(x^{4}\right)^{2}=x^{4\cdot 2}=x^{8}$ であり、$x^{16}$ でも $x^{6}$ でもない。

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   定義域を確認し、数値で検証する。 この式には $1-x^{8}>0$、すなわち $-1<x<1$ が必要で、これは $\sin^{-1}(x^{4})$ の定義域から導関数が発散する端点を除いたものに一致する。$h=10^{-6}$ とした $\sin^{-1}(x^{4})$ の中心差分は $x=0.3$ で $0.10800354$、$x=0.7$ で $1.41334288$、$x=-0.5$ で $-0.50097943$ となり、3 点すべてで $4x^{3}/\sqrt{1-x^{8}}$ と小数第 8 位まで一致する。