点 (0,0), (0,1), (1,2) を通る閉じた三角形の経路に沿って、線積分 (e^y + x) dx + (x e^y − 2y) dy を求めよ。

Step-by-step solution

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   直接パラメータ表示するよりグリーンの定理を選ぶ。 経路は閉じていて区分的に滑らかであり、3 本の線分を別々にパラメータ表示すると $e^y$ を含む煩雑な積分が 3 つ必要になる。グリーンの定理を使えば、囲まれた三角形 $D$ 上のただ 1 つの二重積分に置き換えられる：

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA$

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   P と Q を読み取る。

   $P(x,y)=e^{y}+x,\qquad Q(x,y)=xe^{y}-2y$

3. 3

   2 つの偏導関数を計算する。 $Q$ を $x$ で微分するときは $y$ を定数扱いするので、$e^y$ は単なる定数倍にすぎず、$-2y$ は消える：

   $\frac{\partial Q}{\partial x}=e^{y}$

   $P$ を $y$ で微分すると、$x$ だけの項が消える：

   $\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}$

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   差をとって積分する。

   $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=e^{y}-e^{y}=0$

   よって

   $\oint_L P\,dx+Q\,dy=\iint_D 0\,dA=0$

   $\boxed{0}$

5. 5

   三角形の形が無関係だった理由。 平面全体（単連結領域）で $\partial Q/\partial x=\partial P/\partial y$ が成り立つので、このベクトル場は保存場であり、次のポテンシャルの勾配になっている：

   $\varphi(x,y)=xe^{y}+\tfrac{x^2}{2}-y^2$

   実際 $\varphi_x=e^y+x=P$ かつ $\varphi_y=xe^y-2y=Q$ である。したがってどんな閉曲線をたどってもポテンシャルは元の値に戻り、積分値は $0$ となる——与えられた 3 頂点は他のどの点に取り替えてもよかった。

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   ポテンシャルで直接確かめる。 $(0,0)\to(0,1)\to(1,2)\to(0,0)$ と一周すると、$\varphi$ の値は順に $0$、$-1$、$e^2+\tfrac12-4$、そして再び $0$ となる。3 つの差を足し合わせると打ち消し合って $0$ になり、グリーンの定理の結果と一致する。