f(x, y) は単位円板 D = {x² + y² ≤ 1} 上で 2 回連続微分可能で f_xx + f_yy = x² + y² を満たすとする。D 上での (x/√(x²+y²)) f_x + (y/√(x²+y²)) f_y の重積分を求めよ。

Step-by-step solution

1. 1

   被積分関数が動径方向の微分であることを見抜く。 極座標では$x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$なので$\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\cos\theta$、$\tfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}=\sin\theta$である。したがって

   $\cos\theta\,f_x+\sin\theta\,f_y=\frac{\partial f}{\partial r}$

   となり、問題は$I=\displaystyle\iint_{D}\frac{\partial f}{\partial r}\,dA$に帰着する。$f$そのものは与えられていない点に注意したい——つまり答えはラプラシアンの条件だけから決まらなければならない。

2. 2

   角度平均を導入する。

   $g(r)=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}f(r,\theta)\,d\theta$

   と定める。極座標でのラプラシアンは$\nabla^{2}f=\tfrac1r\big(rf_r\big)_r+\tfrac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta}$である。$\theta$について平均すると$f_{\theta\theta}$の項は消え（1周期にわたって積分すると0になる）、右辺の$x^2+y^2=r^2$は$\theta$に依存しないので

   $\frac1r\big(rg'(r)\big)'=r^{2}$

   が残る。

3. 3

   得られた常微分方程式を解く。 $r$を掛けて積分すると、

   $\big(rg'\big)'=r^{3}\quad\Longrightarrow\quad rg'=\frac{r^{4}}{4}+C$

   原点での$f$の滑らかさから$r\to 0$のとき$rg'\to 0$でなければならず、$C=0$、したがって

   $g'(r)=\frac{r^{3}}{4}$

   ここが要点である：$f$に含まれる任意の調和成分は角度平均が定数になる（平均値の性質）ので、$g'$には何も寄与しない。

4. 4

   積分を g′ に書き換える。 $dA=r\,dr\,d\theta$なので、

   $I=\int_{0}^{1}\!\!\int_{0}^{2\pi}\frac{\partial f}{\partial r}\,r\,d\theta\,dr=\int_{0}^{1}r\left(\int_{0}^{2\pi}f_r\,d\theta\right)dr=\int_{0}^{1}r\cdot 2\pi g'(r)\,dr$

5. 5

   値を求める。

   $I=2\pi\int_{0}^{1}r\cdot\frac{r^{3}}{4}\,dr=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}r^{4}\,dr=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{5}=\frac{\pi}{10}$

   $\boxed{\dfrac{\pi}{10}}$

6. 6

   具体的な解で検算する。 $f=\tfrac{r^{4}}{16}=\tfrac{(x^2+y^2)^2}{16}$と取る。すると$\nabla^{2}f=\tfrac1r\left(r\cdot\tfrac{4r^{3}}{16}\right)'=\tfrac1r\left(\tfrac{r^{4}}{4}\right)'=r^{2}$ ✓であり、$f_r=\tfrac{r^{3}}{4}$なので

   $I=\int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{1}\frac{r^{3}}{4}\,r\,dr\,d\theta=2\pi\cdot\frac{1}{20}=\frac{\pi}{10}$

   となり、一般論と一致する。この$f$に任意の調和関数を足しても、仮定も答えも変わらない。